Решение систем уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса -это метод последовательного исключения неизвестных.

Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.

2) Иметь бесконечно много решений.

3) Не иметь решений (быть несовместной).

Элементарные преобразования с матрицами:

1) Строки матрицы можнопереставлять местами. Для удобства преобразований строки располагают по возрастанию первых коэффициентов, начиная с 1.

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них:

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить.

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, не равное 0.

5) К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, не равное 0.

Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду. Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса.

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: y=1.

Рассмотрим первое уравнение системы x - y = -5 и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Ответ: x = - 4, y=1