Генеральная совокупность и выборка. Свойства статистических оценок

Вся совокупность единиц, подвергаемых обследованию на какой-либо признак Х, называется генеральной совокупностью. Количество единиц генеральной совокупности называется объемом генеральной совокупности и обозначается N. Единицы, отобранные из генеральной совокупности для обследования на некоторый признак, образуют выборочную совокупность или выборку. Количество единиц выборки называется объемом выборки и обозначается n.

Статистические выводы - это заключения о генеральной совокупности (т.е. законе распределения исследуемой СВ и его параметрах либо о наличии и силе связи между исследуемыми переменными) на основе выборки, случайно отобранной из генеральной совокупности. В качестве оценок параметров распределения генеральной совокупности берутся их выборочные оценки. Различают 2 вида оценок: точечные и интервальные.

Точечной оценкой параметра θ называется числовое значение этого параметра, полученное по выборке объема n. Так как выборка носит случайный характер, то оценка θ * является СВ, принимающей различные значения для различных выборок. Точностью оценки называют такое число ε, что < =ε. Качество оценок характеризуется следующими основными свойствами:

1)несмещенность. Оценка θ * называется несмещенной оценкой параметра θ, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру М(θ *)= θ

2)эффективность. Оценка θ * называется эффективной оценкой параметра θ, если ее дисперсия D(θ *) меньше дисперсии любой другой альтернативной несмещенной оценки при фиксированном объеме выборки n, т.е. D(θ *)=D min. Оценка называется асимптотически эффективной, если с увеличением объема выборки ее дисперсия стремится к нулю, т.е. D(θ *)0 при n.

3)cостоятельность. Оценка (индекс n применяется для подчеркивания объема выборки) называется состоятельной оценкой параметра θ, если сходится по вероятности к оцениваемому параметру θ при n. Другими словами, состоятельной называется такая оценка, которая дает истинное значение при достаточно большом объеме выборки вне зависимости от значений входящих в нее конкретных наблюдений.

Точечная оценка может быть дополнена интервальной оценкой. Интервальная оценка – интервал(), внутри которого с наперед заданной вероятностью (надежностью) находится точное значение оцениваемого параметра θ. Определение такого интервала называют интервальным оцениванием, а сам интервал – доверительным интервалом.

57. Структурная и приведенная формы модели в системах одновременных уравнений.

Системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений могут быть представлены в двух формах:

- структурная форма модели (описывает реальные структурные связи между переменными);

- приведенная форма модели (в правой части уравнения лишь независимые переменные).

Структурные формы моделей могут быть представлены 2 видами уравнений:

-поведенческое уравнение (описывает взаимодействие между переменными, содержит случайные возмущения)

-уравнения тождества (описывают соотношения между переменными, не содержит случайных возмущений).

В правой части структурных уравнений могут быть зависимые переменные, их лаги и экзогенные (независимые) переменные.

Простейшая структурная форма модели имеет вид следующей системы:

y1=b12*y2+a11*x1+ε 1

y2=b21*y1+a22*x2+ε 2

где y₁, y₂ - эндогенные переменные, x₁, x₂ - экзогенные. Коэффициенты b при эндогенных и a - при экзогенных переменных называются структурными коэффициентами модели. Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной.

Структурная форма модели более информативна, так как отражает реальные взаимосвязи между переменными. Эти связи теряются в приведенной форме.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма преобразуется в приведенную форму.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

ŷ 1=δ 11*X1+…+δ 1m*Xm

ŷ 2=δ 21*X1+…+δ 2m*Xm

…

ŷ n=δ n1*X1+…+δ nm*Xm

где δ -коэффициенты приведенной формы модели

Приведенная форма позволяет выразить значения эндогенных переменных через экзогенные, однако аналитически уступает структурной форме модели, т.к. в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

Билет №5

5.Суть метода наименьших квадратов. Предпосылки МНК. Каковы последствия их выполнимости или невыполнимости?

Метод наименьших квадратов (МНК). Суть метода наименьших квадратов (МНК) - оценки параметров таковы, что сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной Y_i от расчетных (теоретических) Y_x минимальна: Σ (y_{i –} y_xi)² → min