Если стороны прямоугольного треугольника измерены одной и той же единицей, то квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть ABC (рис.9) есть прямоугольный треугольник, AD — перпендикуляр, опущенный на гипотенузу из вершины прямого угла.

Положим, что стороны и отрезки гипотенузы измерены одной и той же единицей, причём получились числа а, b, с, с' и b' (принято длины сторон треугольника обозначать малыми буквами, соответствующими большим буквам, которыми обозначены противолежащие углы). Применяя теорему*, можем написать пропорции:

а: с = с: с' и а: b = b: b',

откуда

ас' = с ² и ab' = b ².

Сложив почленно эти два равенства, найдём:

ас' + ab' = с ² + b ², или а (с' + b') = с ² + b ².

Но с' + b' = а, следовательно,

a ² = с ² + b ².

Эту теорему обыкновенно выражают сокращённо так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема Пифагора имеет ещё другую формулировку: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Замечание. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется часто египетским треугольником, так как он был известен ещё древним египтянам. Так, их землемеры для построения прямого угла на земной поверхности пользовались таким приёмов: бечёвку посредством узлов они разделяли на 12 равных частей; затем, связав концы, натягивали её на земле (посредством кольев) в виде треугольника со сторонами в 3, 4 и 5 делений; тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым.
Прямоугольные треугольники, у которых стороны измеряются целыми числами, носят название пифагоровых треугольников. Можно доказать, что катеты х и у и гипотенуза z таких треугольников выражаются следующими формулами:

х = 2 ab, у = а ² — b ², z = а ² + b ²,

где a и b — произвольные целые числа при условии, что а > b.

Следствие. Квадраты катетов относятся между собой, как прилежащие отрезки гипотенузы. Действительно, из уравнений предыдущего параграфа находим:

c ²: b ² = ac': ab' = с': b'

Замечание. К трём равенствам, которые мы вывели выше:

1) ас' = с ²; 2) ab' = b ² и 3) a ² = с ² + b ²,

можно присоединить ещё следующие два:

4) b' + с' = а и 5) h ² = b'с' '

(если буквой h обозначим длину высоты AD). Из этих равенств третье, как мы видели, составляет следствие первых двух и четвёртого, так что из пяти равенств только четыре независимы; вследствие этого можно по данным двум из шести чисел находить остальные четыре.