Гомотетия

Расмотрим пример преобразования подбия, отличного от движения. Зададим точку М₀ и вещественное число m≠ 0. Каждой точке М плоскости поставим в соответствие точку M' так, чтобы

(1)

Такое отображение является преобразование плоскости и называется гомотетией. Точка называется гомотетией. Точка М₀ называется центром гомотетии, а число m – коэффициентом гомотетии. Докажем, что гомотетия – преобразование подобия. Действительно, пусть М₁ и М₂- произвольные точки плоскости, а и - их образы. Из равенства (1) получаем: , , поэтому

(2)

Отсюда получаем: | | = |m|× | | или = |m|× .

Таким образом, гомотетия с коэффициентом m является преобразованием подобия с коэффициентом подобия k=|m|.

При m=1 из равенства (1) получаем: . Отсюда следует, что любая точка М плоскости совпадает с её образом, т.е. гомотетия с коэффициентом m=1 является тождественным преобразованием. При m=-1 из равенства (1) получаем, что гомотетия – центральная симметрия. В остальных случаях (т.е. когда |m|≠ 1) гомотетия – преобразование подобия, отличное от движения, т.е. преобразование плоскости, не сохраняющее расстояния между точками.

Выберем ортонормированный репер (О, E₁, E₂) так, чтобы точка О совпадала с центром гомотетии. Если М(x, y) – произвольная точка плоскости, а точка М' (x', y') – её образ, то из формулы (1) получаем аналитическое выражение гомотетии:

x'=mx, y'=my (3)