Свойства гомотетии

Рассмотрим простейшие свойства гомотетии.

1⁰. Гомотетия с коэффициентом m≠ 1 переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную ей прямую, а прямую, проходящую через центр гомотетии, — в себя.

Пусть Ax+Bx+С = 0 — уравнение данной прямой l. Подставив сюда значения х. у из (3), получаем уравнение образа l ' этой прямой: Ах'+Ву'+Сm = 0. Этим уравнением определяется прямая. Если С≠ 0, то l||l ', а если С = 0, то l ' и l совпадают.

2° Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек.

Пусть A, В и С — три точки прямой, а A', В' и С' — их образы, µ = (AВ, С) и µ'=(А'В, С'). По определению простого отношения трех точек имеем: , . По формуле

(2) получаем: , где m — коэффициент гомотетии. Следовательно, m или .Таким образом, µ' = µ, т. е. (АВ. С) = (A'В', С').

Из этих свойств следует, что гомотетия переводит отрезок в отрезок, луч в луч и полуплоскость в полуплоскость.

З⁰. Гомотетия переводит угол в равный ему угол.

Пусть ВАС — данный угол, а В', А' , С' — образы точек В, А и С. По формуле (2) получаем:

,

Отсюда следует, что В'А'С' = ВАС.

4°. Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

Пусть (A, B, С) — произвольный репер, а (А', В', С') — его образ. Используя формулы (4), получаем: (, ) | (, ) = m²> 0. Итак, в гомотетии любой репер и его образ ориентированы одинаково, т.е. гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.