![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Затухающие колебания.
В реальных условиях в системах, совершающих колебания, всегда присутствуют силы сопротивления. В результате система постепенно расходует свою энергию на выполнение работы против сил сопротивления и колебания, в конце концов, прекращаются.
Рассмотрим случай, когда колеблющееся тело находится в вязкой среде, а его скорость v невелика — рис. 9.1. Тогда на тело действует сила сопротивления, равная
где r— коэффициент сопротивления, зависящий от формы тела и вязкости среды. Результирующая сила, действующая на тело, равна сумме квазиупругой силы и силы сопротивления:
Составим уравнение движения, используя второй закон Ньютона:
Замечая, что
Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение затухающих колебаний, которое обычно представляют в виде:
где b=r/2m — коэффициент затухания, а Если пренебречь силами трения (т.е. положить b = 0), то уравнение (9.2) переходит в уравнение гармонических колебаний (5.4), решение которого имеет видx=A cos(w0t + j), где A=const. Если же b¹ 0, но не слишком велико (т.е.
Здесьw — циклическая частота затухающих колебаний, которая связана с частотой незатухающих (гармонических) колебаний соотношением:
Амплитуда затухающих колебаний экспоненциально убывает с течением времени:
Зависимостиx(t)и A(t) показаны на рис. 9.2.
Введём некоторые характеристики затухающих колебаний. Логарифмический декремент затухания численно равен натуральному логарифму отношения значений амплитуд затухающих колебаний в моменты времени t и t+T:
Подставим (9.5) в (9.6):
Логарифмический декремент затухания характеризует скорость затухания: чем больше d, тем быстрее затухают колебания. Добротность колебательной системы определяется формулой
где W(t) — энергия колебаний в момент времени t. Чем больше добротность системы, тем дольше сохраняются колебания. При малых значениях логарифмического декремента затухания справедлива формула:
|