![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Вынужденные колебания.
В реальных условиях колеблющаяся система постепенно теряет энергию на преодоление сил трения, поэтому колебания являются затухающими. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо каким-то образом подводить к колебательной системе энергию, восполняя ее потери. Предположим, что на колеблющуюся систему действует внешняя (вынуждающая) сила, изменяющаяся по гармоническому закону:
Fвн = F0 cos wt,
где w— циклическая частота, F0 — амплитудное значение силы. Результирующая сила найдётся как сумма
где
Используя второй закон Ньютона F=maи замечая, что
или
гдеb = r/2m — коэффициент затухания, Уравнение (10.1) есть дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Решение этого уравнения будем искать в виде
т.е., мы предполагаем, что система совершает гармонические колебания с частотой, равной частоте колебаний внешней силы. Для нахождения амплитуды А вынужденных колебаний продифференцируем (10.2) дважды по времени. Имеем:
Подставляя (10.2) –(10.4) в (10.1), получим:
Из выражения (10.5) видно, что в результате сложения двух гармонических колебаний, сдвинутых по фазе на p/2, получается гармоническое колебание с амплитудой F0/mи начальной фазой, равной нулю. Для сложения колебаний используем метод векторных диаграмм. В §8 было показано, что при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и одинакового направления результирующая амплитуда может быть найдена по формуле (8.1). В данном случае (см. выражение (10.5)):
Подставляя эти данные в формулу (8.1), получим:
отсюда
Видно, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты внешней периодически действующей силы. При w®0 A®F0/mw0: если же Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней периодически действующей силы стремится к резонансной, называется резонансом. Частота wp, при которой наступает резонанс, называется резонансной. Значениеwp можно найти из условия, что приw =wp амплитуда A=max. Это условие выполняется, если подкоренное выражение в (10.6) при w=wp будет минимальным. Это означает, что первая производная по частоте от подкоренного выражения равна нулю:
Отсюда:
Из (10.7) видно, что резонанс наблюдается при частоте, меньшей, чем частота собственных колебаний системы. Важной характеристикой резонансной кривой является её ширина, т.е. интервал частотDw вблизи от резонанса, в пределах которого A
|