Дисперсия

Если мат. ожидание-характеристика положения СВ, то дисперсия-характеристика разброса отклонения СВ от её мат. ожидания.

СВ Х-М(Х) наз. отклонением СВ Х от её мат. ожидания.

ТЕОРЕМА: Мат. ожидание отклонения равно 0.

ДОК-ВО: М(Х-М(Х))=М(Х)-- М(М(Х))=М(Х)--М(Х)=0, ч.т.д.

Дисперсией D(Х) СВ Х наз. мат. ожидание квадрата отклонения

D(Х)=М(Х-М(Х))²

ТЕОРЕМА: D(Х)=М(Х²)-(М(Х))²

ДОК-ВО: D(Х)=М(Х²-2ХМ(Х)+(М(Х))²)=М(Х²)-2М(Х)М(Х)+М(М(Х))²=М(Х²)-2(М(Х))²+(М(Х))²=М(Х²)-(М(Х))²

Св-ва дисперсии:

· D(C)=0, где С=const

· Постоянный множитель выносится за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат

D(СХ)=С²D(Х)

· Если Х и У независ. СВ, то

D(Х±У)=D(Х)+D(У)

Х₁, Х₂, Х₃, …, Х_п – независ. величины

D(Х₁+Х₂+Х₃+…+Х_п)=D(Х₁)+D(Х₂)+…+D(Х_п)

Замечание: D(Х)≥ 0

СР. КВАДРАТИЧ. ОТКЛОНЕНИЕ

Положительное значение √ D(Х)=σ (Х)

Если СВ Х измерена в некот. единицах, то мера разброса D(Х) будет измерена в единицах в квадрате, а мера разброса σ (Х) будет измеряться в тех же единицах, что и СВ Х.

Замечание1. Св-ва мат. ожидания и дисперсии верны также и для непрерывных СВ.

Замечание2. Если СВ Х принимает бесконечное чётное множество значений

Х	Х1	Х2	…	Хп
Р	Р1	Р2	…	Рп

_∞

тогда М(Х)=∑ х_ір_і, причём если

^і=1

ряд сходится абсолютно, то мат. ожидание у СВ имеется, в противном случае мат. ожидание у данной СВ отсутствует

D(Х)=М(Х-М(Х))²

_∞

D(Х)=∑ (Х_і-М(Х))²Р_і ---- ряд

^і=1

сходится абсолютно.