Ошибки I и II рода. Мощность критерия. Уровень значимости.

При проверке гипотез могут быть совершены ошибки 2-х родов:

1) Ошибкой I рода наз. такая ошибка, кот. совершается, если будет отвергнута правильная нулевая гипотеза. Вероятность ошибки I рода обозначается a и наз. уровнем значимости:

a £ 0, 1

Отклонения нулевой гип. на уровне a = 0, 05 означ, что мы не ошибаемся в 95 случаях из 100 или совершаем всё таки ошибку, принимая правильную гипотезу за ложную в 5 случаях из 100.

2) Ошибка II рода состоит в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза H₀ . Вер-сть ошибки II рода обозначается b.

Мощностью критерия k наз. вер-сть М несовершения ошибки II рода: М= 1-b. Др. словами, мощность критерия – это вер-сть того, что нулевая гип. будет отвергнута, если верна конкурируюшая гип. H₁.

Если n®¥, b®1, то критерий наз. критерием согласия.

При данном уровне значимости a из всех критериев лучшим будет тот, у кот. вер-сть ошибки II рода b будет минимальной.

После выбора критерия k множ-во всех его значений распадается на 2 непересекающихся подмножеств: критическую область W и О.Д.З. (или обл. принятия гипотезы).

ОДЗ W

k Если значение критерия k_набл. попадает в критич.

область, то нулевая гипотеза отвергается в пользу конкурирующей гип. H₁. Если k_набл. попадает в О.Д.З., то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. рез-ты опыта согласовываются с гипотезой.

Критической точкой наз. значение критерия k_крит. , кот. отделяет критич. обл. от области принятия гипотезы. Критич. точки определяются из условия:

P(k_крит. Î W)= a

55. Алгоритм проверки стат. гипотез:

1) Располагая выборочными данными x₁, x₂, … x_n и руководствуясь условиями задачи, формулируют нулевую гипотезу H₀ и конкурирующую H₁.

2) Задают a.

3) Определяют критерий k=k(x₁, x₂, …x_n), кот. явл. случайной величиной и в силу случайности выборки x₁, x₂, … x_n подчиняется при выполнении гип. H₀ некоторому известному затабулированному закону распределения.

Значения функции k позволяют судить о расхождении выборки с гипотезой.

4) Определяют критич. область.

Вер-сть того, что критерий k примет значение из крит. области равна a (уровню значимости)

Критич. обл. W должна быть расположена так, чтобы при заданном уровне значимости a вер-сть ошибки II рода b была минимальной.

5) В формулу критерия вместо x₁, x₂, …x_n подставляют элементы выборки и вычисляют k_набл. Если k_набл. Î W, то гипотезу H ₀ отвергают в пользу H₁.

Если k_набл. Ï W, то отвергнуть H₀ нет оснований.

Замечание: критич. область (правосторонняя, левостор. или 2-хстор.) определяют по виду конкурир. гипотезы H₁.

56. Проверка гипотез о равенстве мат. ожиданий 2-х нормально распределённых СВ при известных дисперсиях.

Пусть даны 2 норм. СВ X и Y с параметрами

X®N(a_x, d_x)

Y®N(a_y, d_y)

Д(Y) = d_y².

Предположим, что дисперсии d_x² и d_y² – известны, а мат. ожидания M(X)= a_x, M(Y)= a_y - неизвестны.

Выдвинем гипотезу H₀ о равенстве мат. ожиданий: H₀: a_x = a_y. Если сделаны 2 независ. выборки из ген. совокупностей X и Y, объёмами H₁ и H₂ соответственно: H₁: a_x ¹ a_y.

Выбираем статистику

/Доказано, что эта статистика Z имеет стандартное нормальное распределение с параметрами (0; 1): Z ® N(0; 1) (d₀ = 1). Зададим уровень значимости a. По табл. ф-ции Лапласса по заданному уровню значимости a находим k_крит. =Z_a/2. (Критич. обл. двусторонняя).

P(ê Z ê ³ Z_a/2) = a

P (ê Z ê ³ Z_a/2 ) = P(Z £ - Z_a/2)+ P(Z ³ Z_a/2) = P(-¥ < Z < -Z_a/2)+ P(Z_a/2£ Z < +¥) = ½ (Ф(-Z_a/2) -

- Ф(-¥) + Ф(+¥) - Ф(Z_a/2) = ½ (-Ф(Z_a/2) +1+1 - Ф(Z_a/2)) = 1- Ф(Z_a/2)

1- Ф(Z_a/2) = a

Ф(Z_a/2) = 1 - a,

x

где Ф(х) = 2/Ö 2p * ₀ì e^-t2/2 dt (Ф-ция Лапласса).

По табл. ф-ции Лапласса мы находим Z_a/2 = k_кр., если:

1) ê Z ê < Z_a/2, то нет оснований отвергнуть гипотезу Н₀.

2) ê Z ê ³ Z_a/2, то Н₀ отвергается в пользу Н_1.

3) H₀: a_x = a_y

H₁: a_x = a_y

P(Z > Z_a) = a Þ Ф(Z_a) = 1 - 2a (по ф-ции Лапласса и по уровню знач.)