Выводить формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла

Замена переменной в определённом интеграле

Пусть функция φ (t) имеет непрерывную производную на отрезке [α, β ], а = φ (α), b = φ (β) и функция f (x) непрерывна в каждой точке x = φ (t), где t   [α, β ]. Тогда справедливо равенство

Действительно, пусть F (x) и Ф(t) — некоторые первообразные для функций f (x) и f (φ (t))·φ ' (t). Доказано, что F (φ (t)) также является первообразной для функции f (φ (t))·φ ' (t). Тогда найдется такое число С, что Ф(t) = F (φ (t)) + C, где t  [ α, β ]. Поэтому

Ф(β) - Ф(α) = F (φ (β)) + C - (F (φ (α)) + C) = F (b) - F (a).

Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к «табличному». При этом в отличие от неопределенного интеграла, в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования α и β по новой переменной t как решение относительно переменной t из уравнений φ (t) = a и φ (t) = b.

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла.

Если u (x), v (x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .
Док-во. Интегрируем равенство в пределах от a до b: Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.