Додавання двох однаково спрямованих гармонічних коливань рівних частот

Нехай точка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях однакового періоду, напрямлених вздовж однієї прямої. Ці коливання зручно додавати, гармонічні коливання однакового періоду , напрямлені вздовж однієї прямої, визначаються рівнянням:

(20)

Оскільки коливання відбуваються вздовж однієї прямої, то й результуючі коливання відбуватимуться вздовж цієї самої прямої.

Відкладемо з точки опорної лінії під кутом вектор амплітуди і під кутом вектор амплітуди (рис.2). Обидва вектори обертаються проти стрілки годинника з однаковою кутовою швидкістю , тому кут між ними весь час залишається незмінним. З математики відомо, що проекція на будь-яку вісь рівнодійного вектора дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на цю саму вісь усіх складових векторів. Тому результуючі коливання можна подати вектором амплітуди , що дорівнює сумі векторів і :

(21)

9

Рис.2

і обертається навколо з тією самою кутовою швидкістю , що й вектори і . Результуючі коливання описуються рівнянням виду:

, (22)

де – амплітуда результуючих коливань, а – їх початкова фаза.

З рис.2 видно, що квадрат амплітуди результуючих коливань

(23)

а початкова фаза визначається із співвідношення

, (24)

або

(25)

З виразу (23) випливає, що амплітуда результуючих коливань залежить від різниці початкових фаз коливань, що додаються. Оскільки різниця з бігом часу не змінюється (такі синхронні коливання називаються когерентними), то за формулою (23) можна визначити певне значення амплітуди . Косинус будь-якого кута не може бути більший від +1 і менший від –1. Отже, можливі значення лежать у межах:

(26)

Розглянемо кілька окремих випадків.

1. Різниця фаз додаваних коливань дорівнює нулю або цілому числу :

, де (27)

Тоді

і (28)

На рис. 3 подано графік залежності зміщення від часу для додаваних і результуючого коливань.

Рис.3

2. Різниця фаз додаваних коливань дорівнює непарному числу :

, де (29)

Тоді

і (30)

Відповідні графіки залежності зміщення від часу для додаваних і результуючого коливань подано на рис.4 пунктирними і суцільною лініями.

Рис.4

6. Додавання двох однаково спрямованих гармонічних коливань і
з близькими частотами та
(явище биття)

Биттям називаються періодичні зміни амплітуди від мінімального значення до максимального значення. Позначивши і , а , рівняння коливань, що додаються, можна записати у вигляді:

(31)

(32)

Враховуючи, що , можна показати, що сума коливань

(33)

Модульованими коливаннями називаються коливання виду .

Амплітудно-модульовані коливання – це такі, для яких і ; де – найбільше значення амплітуди.

Частотно, або фазо-модульовані коливання – це такі, для яких і .

Гармонічним аналізом коливань називається зображення складних модульованих коливань у вигляді ряду простих гармонічних коливань, ряду Фур’є:

,

де – функція, що описує складне коливання,

– її основна циклічна частота.