Линейные преобразования с простым спектром.

Во многих случаях оказывается необходимым знать, может ли данное линейное преобразование j иметь в некоторой базе диагональную матрицу. Приведем достаточное условие того, что линейное преобразование может быть задано диагональной матрицей.

Докажем сначала следующие вспомогательные результаты:

Линейное преобразование j тогда и только тогда задается в базе е ₁, е ₂,..., е _n диагональной матрицей, если все векторы. этой базы являются собственными векторами преобразования j.

Действительно, равенство

e _ij=l_i e _i

равносильно тому, что в i-й строке матрицы, задающей преобразование j в указанной базе, равны нулю все элементы, стоящие вне главной диагонали, а на главной диагонали (т. е. на i-м месте) стоит число l_i.

Собственные векторы b ₁, b ₂, …, b _k, линейного преобразования j, относящиеся к различным собственным значениям, составляют линейно независимую систему,

Будем доказывать это утверждение индукцией по k, так как при k =1 оно справедливо - один собственный вектор, будучи отличным от нуля, составляет линейно независимую систему. Пусть

b _ij=l_i b _i i = 1, 2, …, k,

и

l_i ¹ l_j при i ¹ j.

Если существует линейная зависимость

a₁ b ₁+a₂ b ₂+…+a_k b _k = 0 (9)

где, например. a₁¹ 0, то, применяя к обеим частям равенства (9) преобразование j, получим

a₁l₁ b ₁+a₂l₂ b ₂+…+a_kl_k b _k = 0

Вычитая отсюда равенство (9), умноженное на l_k, получаем

a₁(l₁-l_k) b ₁+a₂(l₂-l_k) b ₂+…+a_k-1(l_k-1-l_k) b _k-1 = 0

что дает нетривиальную линейную зависимость между векторами b ₁, b ₂, …, b _k-1, так как a₁(l₁-l_k)¹ 0.

Говорят, что линейное преобразование j действительного линейного пространства V_n имеет простой спектр, если все его характеристические корни действительны и различны. Преобразование. j имеет, следовательно, n различных собственных значений, а по­этому, по доказанной теореме, в пространстве V_n существует база, составленная из собственных векторов этого преобразования. Таким образом, всякое линейное преобразование с простыми спектром может быть задано диагональной матрицей.

Переходя от линейного преобразования к матрицам, его задающим, мы получаем следующий результат:

Всякая матрица, все характеристические корни которой действительны и различны, подобна диагональной матрице или, как говорят, такая матрица приводится к диагональному виду.

34)

Евкли́ дово простра́ нство (также Эвкли́ дово простра́ нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно n -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть с метрикой, введённой по формуле:

,

где и .

Вектор. Ортонормированный базис. Если векторы e _1, e ₂, e ₃ попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты x ₁, x ₂, x ₃ - прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать i, j, k.

Будем предполагать, что в пространстве R ³ выбрана правая система декартовых прямоугольных координат {0, i, j, k }.

Вектор. Векторное произведение. Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c, который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора c численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е. ê c ê = ê a ê ê b ê sin (a ^ b).

2. Вектор c перпендикулярен к каждому из векторов a и b.

3. Векторы a, b и c, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения c вводится обозначение c = [ ab ] или
c = a ´ b.

Если векторы a и b коллинеарны, то sin(a^b) = 0 и [ ab ] = 0, в частности, [ aa ] = 0. Векторные произведения ортов: [ ij ] = k, [ jk ] = i, [ ki ] = j.

Если векторы a и b заданы в базисе i, j, k координатами a (a ₁, a ₂, a ₃), b (b ₁, b ₂, b ₃), то

(неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х): 1. непрерывны на полуинтервале (a, b]; 2. , ; 3. существуют производные f '(х) и g'(х) на интервале (a, b), причём g'(х) ¹ 0; 4. существует (конечный или бесконечный) . Тогда существует , и .

Теорема остаётся справедливой и для случаев . В целом теоремы Лопиталя - это мощное средство для раскрытия неопределённостей всех видов.

Соответствия. Функции и отображения. Операции. Перестановки, размещения и сочетания. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения множества. Инверсии и обратные перестановки. Перманенты и их применения. Алгоритмы генерации комбинаторных объектов.

35)