Матрица линейного преобразования

В примере 19.4 было показано, что преобразование -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом. Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис , -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора обозначим . Запишем разложение вектора по базису пространства . Для образа этого вектора получим (19.2) Векторы имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их , ,..., соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно, Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя предложение 14.3, изменим порядок суммирования Это равенство означает, что -той координатой вектора служит . Составим матрицу из координатных столбцов векторов ,..., Вычислим произведение матрицы на столбец Мы видим, что -ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора . Поэтому (19.3) Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора. Матрица называется матрицей линейного преобразования . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д. Пример 19. 5 Найдем матрицу линейного преобразования из примера 19.1. Выберем какой-нибудь базис . Тогда Следовательно, первый столбец матрицы имеет вид . Аналогично Второй столбец матрицы имеет вид . В итоге Пример 19. 6 Найдем матрицу линейного преобразования из примера 19.2. Угол возьмем равным . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базис i, j. Из рисунка 19.7 видно, что вектор имеет координаты и . Рис. 19. 7.Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид . Координаты образа второго базисного вектора равны и , его координатный столбец имеет вид . В итоге получаем, что в базисе i, j матрица поворота на угол имеет вид

31)

Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.