Подпространство векторного пространства

Определение 2. Непустое множество векторов векторного пространства называется линейным подпространством ⁶⁾, если:

1. для любых векторов ;

2. для всех .

Определение 3. Коразмерностью ⁷⁾ линейного подпространства называется разность .

Определение 4. Подпространство, коразмерность которого равна 1, называется гиперплоскостью ⁸⁾.

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r; - базис этого подпространства.

29)

Связь между базами. Объектом изучения являются для нас конечномерные линейные пространства. Понятно, что, изучая n-мер­ные линейные пространства, мы по существу изучаем то n-мерное векторное пространство строк, которое было введено еще в гл. 2. Однако раньше в этом пространстве была выделена одна база - а именно база, составленная из единичных векторов, т. е. векторов, у которых одна координата равна единице, а все остальные координаты равны нулю, - и все векторы пространства задавались строками их координат в этой базе; теперь же все базы пространства являются для нас равноправными.

Посмотрим, как много баз можно найти в n -мерном линейном пространстве и как эти базы связаны друг с другом.

Пусть в n -мерном линейном пространстве V заданы базы

e ₁, e ₂, …, e _n (4)

и

e ₁ ’, e ₂ ’, …, e _n ’ (5)

Каждый вектор базы (5), как и всякий вектор пространства V, однозначно записывается через базу (4),

i=1, 2,..., п. (6)

Матрица

строки которой являются строками координат векторов (5) в базе (4), называется матрицей перехода от базы (4) к базе (5).

Связь между базами (4) и (5) и матрицей перехода Т можно записать, ввиду (6), в виде матричного равенства

(7)

или, обозначая базы (4) и (5), записанные в столбец, соответственно через е и е', в виде

е'=Те.

С другой стороны, если Т' — матрица перехода от базы (5) к базе (4), то

e=T’e’

Отсюда

e=(Т’Т)e’,

e’=(ТТ’)e

т. е., ввиду линейной независимости баз е и е',

Т'Т=ТТ'=Е,

откуда

T’=T ^-1

Этим доказано, что матрица перехода от одной базы к другой всегда является невырожденной матрицей.

Всякая невырожденная квадратная матрица порядка п с действительными элементами служит матрицей перехода от данной базы п-мерного действительного линейного пространства к некоторой другой базе.

Пусть, в самом деле, дана база (4) и невырожденная матрица Т порядка п. Возьмем в качестве (5) систему векторов, для которых строки матрицы Т служат строками координат в базе (4); имеет место, следовательно, равенство (7). Векторы (5) линейно незави­симы— линейная зависимость между ними влекла бы за собой линейную зависимость строк матрицы Т в противоречие с ее невырожденностью. Поэтому система (5), как линейно независимая система, состоящая из п векторов, является базой нашего простран­ства, а матрица Т служит матрицей перехода от базы (4) к базе (5).

Мы видим, что в n-мерном линейном пространстве можно найти столь же много различных баз, как много существует различных невырожденных квадратных матриц порядка п. Правда, при этом две базы, состоящие из одних и тех же векторов, но записанных в различном порядке, считаются различными.

Ма́ трицей перехо́ да от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов в базисе .

Обозначается