Характеристические корни и собственные значения

Пусть А = (a_ij) - квадратная матрица порядка n с действительными элементами. Пусть, с другой стороны, l - некоторое неизвестное. Тогда матрица А-lЕ, где Е - единичная матрица порядка n, называется характеристической матрицей матрицы А. Так как в матрице lЕ по главной диагонали стоит l, все же остальные элементы равны нулю, то

Определитель матрицы А-lЕ будет многочленом от l, притом степени n. В самом деле, произведение элементов, стоящих на главной диагонали, будет многочленом от l со старшим членом (-1)ⁿlⁿ, все же остальные члены определителя не содержат по меньшей мере двух из числа элементов, стоящих на главной диагонали, и поэтому их степень относительно l не превосходит n–2. Коэффициенты этого многочлена можно было бы легко найти. Так, коэффициент при l^n-1 равен (-1)ⁿ(a₁₁+a₂₂+…+a_nn), а свободный член совпадает с определителем матрицы А.

Многочлен n-й степени |А-lЕ| называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы.

Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами и, следовательно, одинаковыми характеристическими корнями.

Пусть, в самом деле,

B=Q^-1AQ

Тогда, учитывая, что матрица lЕ перестановочна с матрицей Q, а |Q^-1|=|Q|^-1, получаем:

|B-lЕ|=|Q^-1АQ-lЕ|=|Q^-1(А-lЕ)Q|=|Q^-1|× |А-lЕ|× |Q|=|А-lЕ|

что и требовалось доказать.

Из этого результата вытекает, ввиду доказанной теоремы о связи между матрицами, задающими линейное преобразование в разных базах, что хотя линейное преобразование j может задаваться в разных базах различными матрицами, однако все эти матрицы имеют один и тот же набор характеристических корней. Эти корни можно называть поэтому характеристическими корнями самого преобразования j. Весь набор этих характеристических корней, причем каждый корень берется с той кратностью, какую он имеет в характеристическом многочлене, называется спектром линейного преобразования j.

Пусть в действительном линейном пространстве V_n задано линейное преобразование j. Если вектор b, отличный от нуля, переводится преобразованием j в вектор, пропорциональный самому b,

b j=l₀j (1)

где l₀ - некоторое действительное число, то вектор b называется собственным вектором преобразования j, а число l₀ - собственным значением этого преобразования, причем говорят, что собственный вектор b относится к собственному значению l₀.

Заметим, что так как b ¹ 0, то число l₀, удовлетворяющее условию (1), определяется для вектора b однозначно. Подчеркнем, далее, что нулевой вектор не считается собственным вектором преобразования j, хотя он удовлетворяет условию (1), притом для любого l₀.

Вращение евклидовой плоскости вокруг начала координат на угол, не являющийся кратным p, служит примером линейного преобразования, не имеющего собственных векторов. Примером другого крайнего случая является растяжение плоскости, при котором все векторы, выходящие из начала координат, растягиваются, скажем, в пять раз. Это будет линейное преобразование, причем все ненулевые векторы плоскости будут для него собственными; все они относятся к собственному значению 5.

Действительные характеристические корна линейного преобразования j, если они существуют, и только они служат собственными значениями этого преобразования.

Пусть, в самом деле, преобразование j имеет в базе е ₁, е ₂,..., е _n матрицу A=(a_ij) и пусть вектор

является собственным вектором преобразования j

b j=l₀j (2)

Как доказано ранее (в § 31),

b j=[(b₁, b₂, …, b_n)A] e (3)

Равенства (2) и (3) приводят к системе равенств

(4)

Так как b ¹ 0, то не все числа b₁, b₂, …, b_n равны нулю. Таким образом, ввиду (4), система линейных однородных уравнений (5) обладает ненулевым решением, а поэтому ее определитель равен нулю,

(6)

Транспонируя, получаем

|А-l₀Е|=0 (7)

т. е. собственное значение l₀ на самом деле оказалось характеристическим корнем матрицы А и, следовательно, линейного преобразования j, притом, понятно, действительным.

Обратно, пусть l₀ будет любым действительным характеристическим корнем преобразования j и, следовательно, матрицы А. Тогда имеет место равенство (7), а поэтому и получающееся из него транспонированием равенство (6). Отсюда следует, что система линейных однородных уравнений (5) обладает ненулевым решением, притом даже действительным, так как все коэффициенты этой системы действительны. Если это решение обозначим через

(b₁, b₂, …, b_n) (8)

то имеют место равенства (4). Обозначим через b вектор пространства V_n, имеющий в базе е ₁, е ₂,..., е _n строку координат (8); ясно, что b ¹ 0. Тогда справедливо равенство (3), а из (4) и (3) следует (2). Вектор b оказался, таким образом, собственным вектором преобразования j, относящимся к собственному значению l₀. Теорема доказана.

Заметим, что если бы мы рассматривали комплексное линейное пространство, то требование действительности характеристического корня было бы излишним, т. е. была бы доказана теорема: характеристические корни линейного преобразования комплексного линейного пространства и только они служат собственными значениями этого преобразования. Отсюда следует, что в комплексном линейном пространстве всякое линейное преобразование обладает собственными векторами.

Возвращаясь к рассматриваемому нами действительному случаю, отметим, что совокупность собственных векторов линейного преобразования j, относящихся к собственному значению l₀, совпадает с совокупностью ненулевых действительных решений системы линейных однородных уравнений (5). Отсюда следует, что совокупность собственных векторов линейного преобразования j, относящихся к собственному значению l₀, будет, после добавления к ней нулевого вектора, линейным подпространством пространства V_n. В самом деле, как доказано ранее, совокупность (действительных) решений любой системы линейных однородных уравнений от n неизвестных будет линейным подпространством пространства V_n.

32)

Собственные векторы

Собственные векторы линейного преобразования, векторы, которые при этом преобразовании не меняют своего направления, а только умножаются на скаляр. Например, С. в. преобразования, составленного из вращении вокруг некоторой оси и сжатия к перпендикулярной ей плоскости, служат векторы, направленные по этой оси. Координаты х ₁, х ₂,..., x _n С. в. линейного преобразования n -мерного пространства с матрицей преобразования || a _ik|| удовлетворяют системе однородных линейных уравнений , , где l — одно из собственных значений этой матрицы. Если матрица преобразования самосопряжённая (см. Самосопряжённая матрица), то С. в. взаимно перпендикулярны. При самосопряжённом преобразовании сфера переходит в эллипсоид, главными осями которого являются С. в. преобразования.