Определение
Определение 1. Пусть — некоторое поле. Абелева группа1) называется векторным пространством 2), или линейным пространством 3) над полем , если задано отображение , удовлетворяющее условиям:
1. для всех ;
2. для всех ;
3. для всех ;
4. для всех .
При этом элементы пространства называются векторами 4), а операция — умножением на скаляр.
Замечание 1. Данное определение можно переформулировать в терминах модулей: левый унитарный модуль над полем называется векторным пространством. Кроме того, в некоммутативной алгебре под векторным пространством понимают более широкий класс модулей, сохраняющий все основные свойства векторных пространств в их классическом понимании: левый унитарный модуль над телом называется векторным пространством.
Пример 1. Нульмерное векторное пространство состоит из одного элемента: .
Пример 2. - мерное координатное пространство над полем представляет собой декартово произведение множителей . Элементы записываются в виде векторов-строк 5). Операции сложения и умножения на скаляр определены покоординатно:
, .
Нулевым элементом является вектор , противоположным для служит вектор-строка .
Пример 3. Множество функций, определенных на отрезке и интегрируемых на нем по Лебегу, с поточечной операцией сложения , является векторным пространством над полем действительных чисел.
Пример 4. Пусть . Введем на операцию по правилу и операцию умножения на скаляр по правилу . Нетрудно проверить, что с указанными операциями является векторным пространством над полем . Нейтральным элементом служит .
|