Определение линейного пространства. Изоморфизм

Определение n-мерного векторного пространства, данное в § 8, начиналось с определения n-мерного вектора как упорядоченной системы п чисел. Для n-мерных векторов были введены затем сложение и умножение на числа, что и привело к понятию n-мерного векторного пространства. Первыми примерами векторных пространств являются совокупности векторов-отрезков, выходящих из начала координат на плоскости или в трехмерном пространстве. Однако, встречаясь с этими примерами в курсе геометрии, мы не всегда считаем необходимым задавать векторы их компонентами в некото­рой фиксированной системе координат, так как и сложение векторов и их умножение на скаляр определяются геометрически, независимо от выбора системы координат. Именно, сложение векторов на пло­скости или в пространстве производится по правилу параллело­грамма, а умножение вектора на число а означает растяжение этого вектора в а раз (с изменением направления вектора на противо­положное, если а отрицательно). Целесообразно и в общем случае дать «бескоординатное» определение векторного пространства, т. е. определение, не требующее задания векторов упорядоченными систе­мами чисел. Сейчас будет дано такое определение. Это определение является аксиоматическим: в нем ничего не будет сказано о свойствах отдельного вектора, но будут перечислены те свойства, которыми должны обладать операции над векторами.

Пусть дано множество V; его элементы будут обозначаться малыми латинскими буквами: а, Ь, с,... ¹). Пусть, далее, в множестве V определены операция сложения, ставящая в соответствие всякой паре элементов а, b из V однозначно определенный элемент а+b из V, называемый их суммой, и операция умножения на действительное число, причем произведение а а элемента а на число а однозначно определено и принадлежит к V.

Элементы множества V будут называться векторами, а само V — действительным линейным (или векторным, или аффинным) пространством, если указанные операции обладают следующими свойствами I — VIII:

I. Сложение коммутативно, a+b=b+a.

II. Сложение ассоциативно, (a+b)+c=a+(b+c)

III. В V существует нулевой элемент О, удовлетворяющий усло­вию: а+0 = а для всех а из V.

Легко доказать, используя I, единственность нулевого элемента: если О_х и 0₂ — два нулевых элемента, то

O₁+O₂=O₁

O₁+O₂= O₂+O₁= O₂

откуда 0₁ = 0₂.

IV. Для всякого элемента а в V существует противоположный элелгент — а, удовлетворяющий условию: а + (— а) = 0.

Легко проверяется, ввиду II и I, единственность противоположного элемента: если (- а) ₁и (- а)₂ — два противоположных элемента для а, то

(- а) ₁+[ a +(- а) ₂] = (- а) ₁+0=(- а) ₁

[(- а) ₁+ a ] +(- а) ₂ =0++(- а) ₂ = +(- а) ₂

откуда (-а)₁= (-а)₂.

Из аксиом I — IV выводится существование и единственность разности а — Ь, т. е. такого элемента, который удовлетворяет уравнению

b+х=а. (1)

Действительно, можно положить

а — b = а+(— b),

так как

Если же существует еще такой элемент с, который удовлетворяет уравнению (1), т. е.

b+c=a

то, прибавляя к обеим частям этого равенства элемент — Ь, полу­чаем, что

c=a+ (-b)

Дальнейшие аксиомы V — VIII (ср. § 8) связывают умножение на число со сложением и с операциями над числами. Именно, для любых элементов а, b из V, для любых действительных чисел a, b и для действительного числа 1 должны иметь место равенства:

V. a (a+b) = a а + a b;

VI. (a+b) a =a a +b a

VII. (ab) a= a(b a)

VIII. 1 а = а.

Укажем некоторые простейшие следствия из этих аксиом.
[1]. aа× 0 = 0.

Действительно, для некоторого а из V

a а = a (а + 0) = a а + a× 0,

т. е.

a× 0 = a а - a а = a а + [ - (a а)] = 0.

[21. 0× а = 0,

где слева стоит число нуль, а справа - нулевой элемент из V, Для доказательства возьмем любое число a. Тогда

a а = (a + 0) а = a а + 0× а,

откуда

0× а = a а - a а = 0.

[3]. Если a а = 0, то или a = 0, или а = 0.

Действительно, если а ¹ 0, т. е. число а ^-1 существует, то

а =1 a = (a^-1a) а = a^-1(a а)= a^-10 = 0.

[4]. a (-а) = - aа.

В самом деле,

a а + a(- а) = a[ а +(- а)] = a0= 0,

т. е. элемент a(- а) противоположен элементу a а.

[5]. (-а)а = - аа.

Действительно,

a а + (-a)а=[a+(-a)]а = 0a= 0,
т. е. элемент (-a) а противоположен элементу a а.
[6]. a (а - b)=aа - ab.
Действительно, по [4],

a (а — b)= a [а + (- b)]= a а + a (- b) = a a + (-a b) = a а — a .b

[7]. (a—b) а =a а —b а.

В самом деле,

(a - b) а = [a + (-b)] а = aа + (—b) а = a а + (—b а) = a а — ba.

Заметим, что перечисленными выше аксиомами и следствиями из них мы будем пользоваться дальше без специальных оговорок.

Выше дано определение действительного линейного пространства. Если бы мы предположили, что в множестве V определено умножение не только на действительные, но и на любые комплексные числа, то, сохраняя те же аксиомы I — VIII, получили бы определение комплексного линейного пространства. Для определенности ниже рассматриваются действительные линейные пространства, однако все, что будет сказано в настоящей главе, переносится дословно на случай комплексных линейных пространств.

Примеры действительных линейных пространств могут быть легко указаны. Ими будут, прежде всего, те n-мерные действительные векторные пространства, составленные из векторов-строк, которые изучались в гл. 2. Линейными пространствами будут и множества векторов-отрезков, выходящих из начала координат на плоскости или в трехмерном пространстве, если операции сложения и умножения на число понимать в том геометрическом смысле, который был указан в начале параграфа.

Существуют также примеры линейных пространств, так сказать «бесконечномерных». Рассмотрим всевозможные последовательности действительных чисел; они имеют вид

a =(a₁, a₂, …, a_n, …)

Операции над последовательностями будем производить покомпонентно: если

b =(b₁, b₂, …, b_n, …)

то

a+b =(a₁+b₁, a₂+b₂, …, a_n+b_n, …)

с другой стороны, для любого действительного числа g

ga=(ga₁, ga₂, …, ga_n, …)

Все аксиомы I — VIII выполняются, т. е. мы получаем действитель­ное линейное пространство.

Примером бесконечномерного пространства будет также множество всевозможных действительных функций действительного переменного, если сложение функций и их умножение на действительное число понимать так, как это принято в теории функций, т. е. как сложение или умножение на число значений функций при каждом значении независимого переменного.

Изоморфизм. Нашей ближайшей целью будет выделение среди всех линейных пространств тех, которые естественно назвать ко­нечномерными. Введем сначала одно общее понятие.

В определении линейного пространства говорилось о свойствах операций над векторами, но ничего не говорилось о свойствах самих векторов. Ввиду этого может случиться, что хотя векторы некоторых двух данных линейных пространств по своей природе совершенно различны, однако с точки зрения свойств операций эти два пространства неразличимы. Точное определение таково:

Два действительных линейных пространства V и V’ называются изоморфными, если между их векторами установлено взаимно однозначное соответствие — всякому вектору а из V сопоставлен вектор а ' из V’, образ вектора а, причем различные векторы из V обладают различными образами и всякий вектор из V’ служит образом некоторого вектора из V, — и если при этом соответствии образом суммы двух векторов служит сумма образов этих векторов,

(а + b)'=: а ' + b ', (2)

а образом произведения вектора на число служит произведение образа этого вектора на то же число,

(a а)'=a а '. (3)

Отметим, что взаимно однозначное соответствие между про­странствами V и V, удовлетворяющее условиям (2) и (3), называется изоморфным соответствием.

Так, пространство векторов - отрезков на плоскости, выходящих из начала координат, изоморфно двумерному векторному пространству, составленному из упорядоченных пар действительных чисел: мы получим изоморфное соответствие между этими пространствами, если на плоскости фиксируем некоторую систему координат и всякому вектору-отрезку сопоставим упорядоченную пару его координат.

Докажем следующее свойство изоморфизма линейных пространств: образом нуля пространства V при изоморфном соответствии между пространствами V и V’ служит нуль пространства V'.

Пусть, в самом деле, а будет некоторый вектор из V, а '— его образ в V’. Тогда, ввиду (2),

a ’= (a + 0) ’= a ’+ 0 ’

т. е. 0' будет нулем пространства V ’

28)