Задача 1. Вычисление суммы ряда

А. И. Подливаев Н. Е. Львов Л. А. Опёнов

КОМПЬЮТЕРНЫЙ ПРАКТИКУМ

“ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ”

Москва 2004

УДК 519.6 (076.5)

ББК 22.19я7

АЗ П44

Подливаев А.И., Львов Н.Е., Опёнов Л.А. Компьютерный практикум “Основы численных методов решения физических задач”. М.: МИФИ, 2004. - 32с.

Сборник содержит основные задачи, которые встречаются при научных исследованиях в области физики конденсированного состояния вещества и требуют использования ЭВМ для своего решения. Он соответствует содержанию первого семестра дисциплины " Вычислительные методы в математике и физике", изучаемой студентами групп Е3‑ 01, 02, и дисциплине " Компьютерный практикум", изучаемой студентами группы Т5-38 в рамках специальности " Физика конденсированного состояния вещества" по специализации " Сверхпроводимость и физика наноструктур".

Рецензент: Кашурников Владимир Анатольевич, доктор физико-математических наук, профессор.

Рекомендовано редсоветом МИФИ в качестве учебного пособия.

Сборник задач подготовлен в рамках Федеральной целевой программы " Интеграция" (проект № Б0049) и при поддержке фонда CRDF (проект “Фундаментальные исследования материи в экстремальных условиях”).

© Московский инженерно-физический институт

(государственный университет), 2004

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие..................................................................................... 4

Задача 1. Вычисление суммы ряда................................................ 6

Задача 2. Вычисление определенного интеграла......................... 9

Задача 3. Вычисление несобственного интеграла...................... 12

Задача 4. Решение трансцендентного уравнения....................... 15

Задача 5. Поиск минимального и максимального

элементов одномерного массива.................................................. 18

Задача 6. Определение минимального собственного

значения эрмитовой матрицы....................................................... 20

Задача 7. Упорядочение элементов одномерного массива........ 22

Задача 8. Решение обыкновенного дифференциального

уравнения........................................................................................ 24

Задача 9. Определение корней кубического уравнения............. 26

Литература...................................................................................... 30

ПРЕДИСЛОВИЕ

Подавляющее большинство физических задач не допускает аналитического решения и требует численных расчетов, зачастую весьма и весьма трудоемких. Прежде всего это касается определения характеристик реальных (а не упрощенных модельных) физических систем. При этом любая, даже очень сложная задача сводится к решению большого числа сравнительно простых задач, таких, как решение дифференциального уравнения, вычисление определенного интеграла, нахождение суммы ряда и др. Количество таких " элементарных" задач сравнительно невелико и исчисляется несколькими десятками. Умение их решать позволяет справиться и с гораздо более трудными задачами, относящимися к различным разделам современной физики.

Настоящее пособие содержит основные задачи, с которыми постоянно сталкиваются исследователи, работающие в области физики конденсированного состояния вещества и которые требуют использования ЭВМ для своего решения. В некоторые задачи включен элемент, затрудняющий их тривиальное численное решение (медленная сходимость, плохая обусловленность и т.п.), что часто встречается в реальных задачах.

Решение вошедших в настоящий сборник задач с использованием языков программирования высокого уровня (FORTRAN, PASCAL и др.) составляет содержание дисциплин «Компьютерный практикум» для студентов третьего курса кафедры " Сверхпроводимость и физика наноструктур" МИФИ и «Вычислительные методы в математике и физике» для студентов второго курса Высшего физического колледжа МИФИ. Предполагается, что каждый студент в той или иной степени владеет хотя бы одним из языков программирования. В процессе решения задач навыки программирования совершенствуются, что позволяет достичь достаточно высокого уровня, позволяющего заниматься научной работой или прикладными разработками.

При численном решении любой задачи необходимо, во-первых, знать алгоритм ее решения и, во-вторых, составить и отладить компьютерную программу для реализации этого алгоритма. Подробное описание большинства численных алгоритмов, необходимых для решения приведенных в сборнике задач, дано в монографии [1]. Данные по структуре и синтаксису языков FORTRAN и PASCAL содержатся, например, в монографиях [2], [3].

Для каждой задачи в сборнике дано 17 вариантов ее постановки, что не превышает количества студентов в группе и обеспечивает каждого индивидуальным заданием. Почти к каждой задаче приведены комментарии и/или методические указания, в которых обращается внимание на имеющиеся в задачах " тонкости", даны рекомендации по возможным способам проверки точности получаемого результата и т.п. К каждому варианту приведены также ответы для некоторых значений параметров, что позволяет студентам самостоятельно контролировать правильность решения и точность результата на этапе отладки программы.

Авторы выражают благодарность А.В. Крашенинникову, принимавшему участие в составлении задач, вошедших в настоящий сборник.

Задача 1. Вычисление суммы ряда

Написать программу для вычисления суммы ряда S при заданном значении параметра a.

Комментарии

В данной задаче при увеличении величины параметра a скорость сходимости суммы ряда падает, а ошибка определения суммы ряда растет. Увеличение ошибки связано с округлением чисел компьютером. Наглядное объяснение причины потери точности дает следующий простой пример. Если к единице один миллиард раз добавить число 10^-9, то мы получим число 2, тогда как при выполнении на ЭВМ суммирования чисел с восьмизначной мантиссой округление результатов каждого суммирования приведет к тому, что результат будет равен 1. Уменьшения ошибки такого типа можно добиться, производя суммирование ряда от самых малых слагаемых к большим или выполняя суммирование по группам равновеликих слагаемых.

Если для ряда можно подобрать ряд , сумма которого известна и который хорошо аппроксимирует ряд при больших k, то скорость сходимости и точность определения суммы ряда можно существенно увеличить, используя следующее соотношение

.

Применительно к данной задаче в качестве ряда можно взять, например, ряд при одном из значений параметра a из табл. 1. Значение суммы этого ряда можно также взять из этой таблицы.

Повысить скорость сходимости и точность вычисления суммы знакопеременного ряда можно, если проводить суммирование по парам слагаемых, близких по модулю и отличающихся знаком (варианты 1, 2, 5, 6, 8-13).

Методические указания

Точность получаемого результата проверить,

а) изменяя порядок суммирования;

б) увеличивая количество суммируемых членов ряда.

Таблица 1

Описание суммируемых рядов и величина суммы при некоторых значениях параметра

№ вар.			Значение при данном
			0, 9159656 0, 1846580
			0, 9889446 0, 2411831
			1, 0517998 0, 2939865
			1, 0517998 0, 5477013
			0, 9159656 0, 4258411
			-0, 9015427 -0, 4235367
			0, 1256236 1, 0014471

Продолжение табл. 1

			-0, 4112335 -0, 2639435
			-0, 2741557 -0, 2000937
			0, 4275050 0, 9068997
			0, 4620981 0, 9515177
			0, 1045998 0, 4620981
			0, 0574397 0, 0351773
			3, 01378 1, 57063
			21, 58919 11, 09157
			2, 5040390 1, 1150570
			0, 3557788 0, 1994101