Задача 3. Вычисление несобственного интеграла

Написать программу для вычисления несобственного интеграла вида как функции параметра a.

Комментарии

Подынтегральные функции в данной задаче имеют особенность при и подобраны так, что простейший способ интегрирования с помощью формул Ньютона - Котеса не дает необходимой точности (относительной погрешности ~ 10^-3), если разбивать область интегрирования на равные отрезки. Такой точности можно достичь, комбинируя следующие приемы: 1) выделить окрестность точки x = 0 и в этой окрестности разложить подынтегральную функцию так, чтобы главный член разложения давал основной вклад в интеграл и интегрировался аналитически (все приведенные ниже функции допускают такое разложение); 2) в оставшейся области проводить интегрирование с помощью формул Ньютона - Котеса на переменной сетке (уменьшая длину отрезков по мере приближения к окрестности точки ).

Методические указания

Точность получаемого результата проверить,

а) увеличивая в несколько раз число отрезков разбиения;

б) сопоставляя численный и аналитический результат для тестового варианта расчета – интегрирования полинома – и принимая во внимание, что с помощью формул прямоугольников и трапеций точно интегрируется линейная функция, а с помощью формулы Симпсона – произвольный полином третьей степени [1];

в) изменяя размер окрестности точки x = 0, в которой производится аналитическое интегрирование приближенной подынтегральной функции.

Таблица 3

Подынтегральные функции, пределы интегрирования и величина интеграла при некоторых значениях параметра

№ вар.			Значение при данном
			1, 613 1, 010
			3, 261 2, 710
			-3, 320 -2, 564
			-0, 7774 -0, 4062
			1, 235 0, 7110
			-3, 179 -2, 507
			3, 102 1, 109
			8, 384 5, 605

Продолжение табл. 3

			9, 749 1, 251
			-1, 351 -0, 8360
			0, 2495 0, 1457
			0, 8423 0, 5082
			0, 2861 0, 1699
			-0, 7424 -0, 4366
			-0, 1445 -0, 0850
			0, 5203 0, 3323
			0, 7228 0, 4684