Тема 3. Методи побудови нелінійних економетричнх моделей

3.1. Види рівнянь регресії

3.2. Парні економетричні моделі

3.3. Алгоритми побудови моделей

3.1. Види рівнянь регресії

Економічна теорія виявила й дослідила значну кількість сталих і стабільних зв'язків між різними показниками. Наприклад, добре вивчено залежності споживання від рівня доходу, попиту – від цін на товари, між рівнями без­робіття та інфляції, залежність обсягу виробництва від окремих фак­торів (розміру основних фондів, їх віку, підготовки персоналу тощо); залежність між продуктивністю праці та рівнем механізації, а також багато інших залежностей.

Харчова промисловість не має самостійних законів економічного розвитку. Для неї характерна наявність ряду закономірностей, зв'язаних з особливостями сировини, наявністю сезонних коливань у виробленні продукції, технологією й устаткуванням що використовується, характером продукції.

По видах використовуваної сировини харчова промисловість підрозділяється на галузі:

а) по первинній переробці сировини (у них тісний зв'язок із сільським господарством). Це виробництво цукру, первинне виноробство, спиртова, крохмалопаточна, плодоовочеконсервна галузі;

б) вторинна переробка сировини. Виробництво цукру-рафінаду, вторинне виноробство, хлібопекарська, кондитерська;

в) видобувна промисловість (соляна, рибна).

По особливостях збуту готової продукції галузі харчової промисловості поділяються:

a) по щоденних замовленнях (хліб, кондитер);

в) підприємства, що працюють «на склад» (кондитерська, макаронна, лікеро-горілчана, вино).

Види рівнянь регресії:

Функції	Аналітичний вираз
1.	Лінійна	Y = a0 + a1X
2.	Параболічна	Y = a0 + a1X2
3.	Гіперболічна
4.	Степенева
5.	Показникова
6.	Модифікована експоненціальна
7.	Показниково-степенева
8.	Екологічна
9.	Логістична
10.	Гомперця
11.	Ірраціональна
12.	Обернена до квадратичної
13.	Дрібно-раціональна
14.	Функція Джонсона
15.	Функції Тронквіста

3.2. Парні економетричні моделі

Здебільшого залежність між показниками можна відобразити за допомогою лінійних співвідношень.

· Наприклад, для моделювання залежності індивідуального спожи­вання Свід наявного прибутку Y.

Кейнс запропонував лінійне рів­няння

де с₀ – величина автономного споживання;

b – гранична схильність до споживання (0 < b < 1).

Однак припущення щодо лінійної залежності між певними показ­никами економічного явища чи процесу може не підтверджуватися даними спостережень цих показників.

В дея­ких випадках залежність єсуттєво нелінійною.

· Залеж­ність між рівнем безробіттям і рівнем інфляції Y відображається так званою кривою Філіпса:

де а> 0, b> 0– параметри моделі, а змінні і Y вимірюються у процентах.

· При незмінній річній дисконтній (обліковій) ставці і по­чатковому внеску a через років у банку наявна сума грошей об­числюватиметься за формулою

y = a(1 + r)^x

де a, у — параметри моделі.

· При маркетингових і ринкових дослідженнях, при дослідженні збуту продукції та в демографії застосовують так звану криву Гомперця:

де параметри та можуть набувати будь-яких значень, а b перебу­ває в таких межах: 0 < b < 1.

· Зв'язок між обсягом виробленої продукції Y та основними вироб­ничими ресурсами, а саме обсягом витраченого капіталу С і обсягом витрат праці L, також має нелінійний характер:

Y=dC^a, y=cL^b.

a, b, с, d – числові параметри; с, d > 0, a, b ³ 0.

Y – обсяг виробленої продукції;

C – обсяг витраченого капіталу;

L – обсяг витрат праці.

3.3. Алгоритми побудови моделей

Нелінійні зв'язки, як правило, певними перетвореннями (заміною змінних чи логарифмуванням) зводять до лінійного вигляду або апроксимують (наближують) лінійними функціями.

Модель лінійної регресії (лінійне рівняння) є найпоширенішим
видом залежності між економічними змінними. Побудоване лінійне рівняння може слугувати початковою точкою в разі складних (суттєво нелінійних) залежностей.

Використання 1МНК для оцінки теоретичних параметрів моделі
a_j (j = 0, 1, 2) найпростіших рівнянь парної регресії приводить до таких систем нормальних рівнянь:

a) лінійна залежність Y = a₀ + a₁X

y

a

б

x

а – прямий зв’язок; б – обернений зв'язок

Малюнок 3.1. Лінійна залежність

б) параболічна залежність Y = a₀ + a₁X²

де х₁=х².

y

б

а

x

а – парабола; б – обернена парабола

Малюнок 3.2. Параболічна залежність

в) гіперболічна залежність

де .

y

а

б

x

а – гіпербола; б – обернена гіпербола

Малюнок 3.3. Гіперболічна залежність

г) степенева залежність

де

Малюнок 3.4. Степенева залежність

Контрольні запитання

1. Наведіть приклади економетричних моделей.

2. Що означає специфікація моделі?

3. Назвіть шляхи перетворень нелінійних моделей до лінійних.

4. Чи є крива Гомперця нелінійною за параметрами функцією?

5. Які моделі використовуються в маркетингових дослідженнях?

Література [3, с. 179-200; 4, с. 138-150; 6, с. 66-73]