Матриця похибок

Функція Microsoft Excel МОБР(.) – знаходить матрицю, обернену до квадратної матриці. Процедура знаходження оберненої матриці аналогічна процедурі мумнож.

=МУМНОЖ(B41: I43; H29: H36)

=МУМНОЖ(D51: F53; D56: D58)

Отже, наша регресійна модель має вигляд:

3. Далі знаходяться відповідні значення Y_розр за формулою Y= Х× b^*і заносяться до стовпчику " 1".

=МУМНОЖ(C29: E36; D61: D63)

4. Стовпчик " 2" містить залишки регресії, обчислені за формулою
Y_факт – Y_розр.

5. Стовпчик " 3" складається з елементів, що знаходяться як
Y_факт – Y_сер.

6. Елементи стовпчика " 4" знаходяться як Y_розр – Y_сер .

7. Реалізуємо обчислення суми квадратів елементів кожного з цих стовпчиків за допомогою процедури " майстра функцій f" СУММКВ(.), знаходимо значення суми квадратів відхилень.

8. Проаналізуємо достовірність моделі та її параметрів:

Коефіцієнт детермінації моделі обчислюється за формулою (4.6)

В економічних розрахунках вважається прийнятним такий зв’язок між факторами, при якому r² > 0, 7.

Скоригований коефіцієнт детермінації (4.9):

Скоригований коефіцієнт детермінації не перевищує одиниці

Справедлива нерівність:

0, 978 < 0, 984

9. Множинний коефіцієнт кореляції R розраховується за формулою (4.12):

.

що свідчить про вельми високий зв’язок між показниками Y та X₁ , X₂.

Парні коефіцієнти кореляції розраховують за формулою матриці коефіцієнтів парної регресії між змінними:

Елементи нормалізованих векторів розраховують за формулами:

Дисперсії змінних мають такі зна­чення:

Тоді знаменники для нормалізації кожної змінної будуть такими:

y^*: ;

x_k^*: ;

x_j^*: .

-3, 9875	38, 5	20, 375	15, 9002	1482, 25	415, 141	-0, 6964	0, 6056	0, 7780
-2, 7875	35, 5	7, 375	7, 7702	1260, 25	54, 391	-0, 4868	0, 5584	0, 2816
1, 8125	-20, 5	0, 375	3, 2852	420, 25	0, 141	0, 3165	-0, 3224	0, 0143
0, 3125	-3, 5	-7, 625	0, 0977	12, 25	58, 141	0, 0546	-0, 0551	-0, 2912
1, 1125	-21, 5	0, 375	1, 2377	462, 25	0, 141	0, 1943	-0, 3382	0, 0143
0, 8125	-0, 5	-9, 625	0, 6602	0, 25	92, 641	0, 1419	-0, 0079	-0, 3675
1, 1125	-11, 5	-4, 625	1, 2377	132, 25	21, 391	0, 1943	-0, 1809	-0, 1766
1, 6125	-16, 5	-6, 625	2, 6002	272, 25	43, 891	0, 2816	-0, 2595	-0, 2530
Усього			32, 79		685, 88

Матриця нормалізованих змінних:

Матриця, транспонована до X^*:

Запишемо шукану кореляційну матрицю:

Кожний елемент цієї матриці характеризує тісноту зв'язку однієї змінної з іншою.

Оскільки діагональні елемен­ти характеризують тісноту зв'язку кожної змінної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці. Решта елементів матриці r_ххтакі:

;

;

.

Вони є парними коефіцієнтами кореляції між змінними.

Користуючись цими коефіцієнтами, можна зро­бити висновок, що між змінними y та x_j – високий зв'язок; між змінними y та x_k існує досить високий кореляційний зв'язок

Частинні коефіцієнти кореляції, як і парні, характеризують тісноту зв’язку між двома змінними, але за умови, що решта змінних сталі.

Розрахунок частинних коефіцієнтів кореляції базується на обернений матриці до матриці r_xx (матриця С):

,

де с_kj – елемент матриці С, що міститься в k-му рядку i j-му стовпці;
с_kk і с_jj – діагональні елементи матриці С.

Розрахуємо матрицю, обернену до матриці r_xx:

Матриця C – симетрична, і її діагональні елементи завжди мають бути додатними.

Визначимо частинні коефіцієнти кореляції:

Частинні коефіцієнти кореляції характеризують рівень тісноти зв'язку між двома змінними за умови, що решта змінних на цей зв'язок не впливає. Частинні коефіцієнти кореляції за модулем нижчі, ніж коефіцієнти парної кореляції, бо на їхній рівень не впливає решта змінних, які мають зв'язок із цими двома.

Коефіцієнт парної кореляції r yx_k близький до одиниці, тому можна зробити висновок, що рівень тісноти зв'язку між двома змінними (y та x_k) досить високий за умови, що решта змінних на цей зв'язок не впливає.

10. Перевіримо значимість зв'язку між змінними моделі.

Модель приймаємо – припускаємо присутність лінійного зв'язку для рівня надійності a=0, 95.

11. Стандартні похибки оцінок параметрів з урахуванням дисперсії залишків:

Стандартні помилки параметрів не перевищують абсолютні значення цих параметрів, то це означає, що оцінки параметрів є незміщеними відносно їх істотних значень.

12. Перевірка значимості коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі множинної регресії.

Перевірка значимості коефіцієнта детермінації

Висувається нульова гіпотеза H₀: R²=0,

або H₀: b₁ = b₂ =... = b_n = 0.

Альтернативна до неї є Н_А: (b_j ≠ 0)

За отриманими в моделі значеннями коефіцієнта детермінації R²обчислюємо експериментальне значення F-статистики (2.12):

Визначимо табличне значення F-критерію Фішера:

Порівняємо з табличним значенням розподілу Фішера при рівні значущості a= 0, 05:

F_експ > F_табл

Нульова гіпотеза відхиляється.

Відхи­лення нуль-гіпотези свідчить про значимість коефіцієнта детермінації.

Перевірка значимості коефіцієнта кореляції

Коефіцієнт кореляції, як вибіркова характеристика, перевіряється на значущість за допомогою t-критерію Ст’юдента.

Задамо рівень значущості a=0, 05 та визначимо табличне значення
t-критерію Ст’юдента:

Величина експериментального значення t-статистики перевищує табличне:

|t_експ| > t_табл

17, 68 > 2, 57

Тобто можна зробити висновок, що коефіцієнт кореляції достовірний (зна­чущий), а зв'язок між залежною змінною та всіма незалежними фак­торами суттєвий.

Перевірка значимості оцінок параметрів моделі

множинної регресії

Для оцінки значимості кожного параметра моделі перевіряємо їх за допомогою t-критерію Ст’юдента:

де с_jj – діагональний елемент матриці (Х' Х)^-1;

– стандартна похибка оцінки параметра моделі.

Статистичну значущість кожного параметра моделі можна пере­вірити за допомогою t-критерію. При цьому нульова гіпотеза має вигляд

Н₀: b_j = 0,

альтернативна

Н_А: b_j ≠ 0.

Будемо наслідувати відповідний алгоритм. Задамо рівень значущості a=0, 05, визначимо табличне значення t-критерію Ст’юдента (t_табл =2, 5058) і розрахуємо значення t-критерію для кожного параметра.

Перевіряємо виконання нерівності | t_спос | < t_табл робимо висновки про стійкість впливу відповідного параметру на залежну змінну Y:

13. Знайдемо інтервали надійності для кожного окремого параметра за формулою:

Оскільки оцінки параметрів моделі β _j*, t_спос і стандартні похибки параметрів моделі обчислені нами у попередніх пунктах, достатньо просто скористатися формулою (4.17) для знаходження інтервалів:

P (0 < b₀ < 19, 86) = 0, 95

P (0 < b₁ < –0, 14) = 0, 95

P (0 < b₂ < –0, 12) = 0, 95

14. Обчислимо прогнозні значення Y_пр:

У рівняння Y_розр = 10, 20 – 0, 0662X₁ – 0, 07X₂ підставимо прогнозні значення фактору Х_пр = (1, 7, 16), що лежить за межами базового періоду (точковий прогноз):

Y_пр = 10, 2 – 0, 0662 × 7 – 0, 072 × 16 = 8, 57

Тоді M(Y_пр) можна розглядати як оцінку прогнозного значення математичного сподівання та індивідуального значення продуктивності праці при відомих параметрах простоїв основного обладнання (Х₁) та втрат робочого часу (Х₂).

Визначимо дисперсію прогнозу (2.17) з урахуванням матриці похибок, яка для прикладу має вигляд:

Елементи дисперсійно-ковартційної матриці, які розраховуються за формулами і мають значення:

Знайдемо дисперсію прогнозу:

Середньоквадратична (стандартна) похибка прогнозу:

15. Довірчий інтервал для прогнозних значень:

16. Інтервальний прогноз математичного сподівання M(Y _np) буде в межах:

8, 46 – 2, 57058 × 0, 167 ≤ M(Y_пр) ≤ 8, 46 + 2, 57058 × 0, 167

17. Визначимо інтервальний прогноз індивідуального значення Y_пр.

Для цього обчислимо дисперсію та стандартну помилку прогнозу індивідуального значення Y_пр:

8, 46– 2, 57058 × 0, 3622 ≤ Y_пр  ≤ 8, 46 + 2, 57058 × 0, 3622

18. Графічне зображення моделі ґрунтується на побудові ліній регресії, в прямокутних координатах Y – x₁ та Y – x₂.

При цьому масштаб треба обрати таким, щоб мінімальні та максимальні значення x₁ та x₂ співпадали між собою.

Лінія регресії Y= f (X₁) при X₂=const відображає вплив першого фактора х₁ на продуктивність праці при постійному значенні другого х₂ (середнє значення х₂).

Лінія регресії Y= f (X₂) при X₁=const відображає вплив другого фактора х₂ на продуктивність праці при постійному значенні х₁ (середнє значення х₁).