Тема 4. Методи побудови множинних економетричнх моделей.

4.1. Множинна регресія

4.2. Матрична форма економетричної моделі

4.3. Оцінка тісноти та значимості зв’язку між змінними у множинній регресії

4.4. Перевірка значимості коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі множинної регресії

4.5. Приклад дослідження багатофакторної моделі

4.1. Множинна регресія.

Множинна регресія являє собою узагальнення простої регресійної моделі для випадку, коли змінна Y залежить не від одного, а від кількох факторів (від n факторів).

Специфікація моделі множинної регресії:

Y = a₀ + a₁X₁ + a ₂X₂ +... + a_n X_n (4.1)

У якості незалежних змінних можуть застосовуватись різні техніко-економічні показники роботи підприємства.

У рівнянні (4.1) Y – залежна змінна, якою може бути будь-який з результуючих показників діяльності підприємства.

До вигляду (4.1) без особливих зусиль можна звести більшість рівнянь, що практично застосовуються в якості виробничих функцій.

У розгорнутому вигляді модель виглядатимете так:

å Y = N a₀ + a₁ å X₁ + a₂ å X₂ +... + a_n å X_n,

å X₁ Y = a₀ å X₁ + a₁ å X₁X₁ + a₂ å X₁X₂ +... + a_n å X₁ X_n,

å X₂ Y = a₀ å X₂ + a₁ å X₁X₂ + a₂ å X₂X₂ +... + a_n å X₂ X_n,

..................................

å X_n Y = a₀ å X_n + a₁ å X₁X_n + a₂ å X₂X_n +... + a_n å X_n X_n

Наведена система дозволяє порівняно легко скласти нормальні рівняння для розрахунку параметрів будь-яких виробничих функцій, що зводяться до вигляду (4.1).

Параболічна залежність:

Гіперболічна залежність:

Степенева залежність:

4.2. Матрична форма економетричної моделі.

У загальному матричному вигляді економетрична модель для фактичних даних записується так:

Y=AX+u, (4.2)

де А – матриця параметрів моделі розміром m´ n (m – кількість незалежних змінних, n – число спостережень);

Y – матриця значень залежної змінної;

Х – матриця незалежних змінних;

u – матриця випадкової складової.

Випадкові складові u називають ще помилками або залишками. Вони є наслідками помилок спостережень, містять у собі вплив усіх випадкових факторів, а також факторів, які не входять у модель.

Теоретичні (розрахункові) значення залежних змінних Y для моделі (4.2) будуть представлені у вигляді:

(4.3)

де А – оцінка параметрів теоретичної моделі.

Сукупність виразів (4.2) і (4.3) для фактичних і теоретичних значень залежних змінних визначає економетричну модель загального виду:

(4.4)

Це система нормальних рівнянь.

Розв’язок системи нормальних рівнянь в матричному записі буде мати вигляд:

(4.5)

де А – вектор параметрів лінійної моделі,

Х¢ – матриця транспонована до матриці Х.

4.3. Оцінка тісноти та значимості зв’язку між змінними у множинній регресії.

Тіснота зв'язку загального впливу всіх незалежних змінних X на залежну змінну Yвизначається коефіцієнтами детермінації і множинної кореляції, парними коефіцієнтами кореляції, а також частинними коефіцієнтами кореляції.

Коефіцієнт детермінації характеризує, якою мірою варіація залежної змінної Yвизначається варіацією незалежних змінних X.

Вигляд коефіцієнта детермінації у множинній регресії ідентичний коефіцієнту детермінації простої регресії.

Таким чином, коефіцієнт детермінації R² дорівнює сумі квадратів відхилень розрахункових значень Y від його середнього до суми квадратів відхилень фактичних значень Y від його середнього значення:

(4.6)

Скоригований коефіцієнт детермінації

Оскільки введення нових незалежних змінних X_i(i=1...m) у множинну регресію, а значить і ступенів вільності моделі, приводить до зменшення коефіцієнта детермінації, то його розрахунок повинен бути відкоригований з урахуванням ступенів вільності, дисперсії залишок та загальної дисперсії.

Скоригований коефіцієнт детермінації розраховується за формулою:

(4.7)

де s²_u — дисперсія залишок ;

s²_y – загальна дисперсія моделі

Підстановка залежностей для дисперсій у формулу для скорегованого коефіцієнта детермінації дає його вираз в залежності від ступенів вільності:

(4.8)

Існує формула, яка пов'язує коефіцієнт детермінації та скоригований коефіцієнт детермінації:

(4.9)

де (n–m₁) та (n–1) –ступені вільності чисельника та знаменника залежності.

n – кількість спостережень,

m₁ – кількість параметрів моделі,

m – кількість незалежних змінних.

Справедлива нерівність:

(4.10)

Скоригований коефіцієнт детермінації не перевищує одиниці:

(4.11)

Числові значення коефіцієнта детермінації лежать у діапазоні
від 0 до 1. Чим ближчий він до одиниці, тим більше варіація залежної змінної визначається варіацією незалежних змінних.

Множинний коефіцієнт кореляції

Множинний коефіцієнт кореляції R розраховується за формулою

. (4.12)

Для нього характерна така сама зміна числового значення, як і для коефіцієнта детермінації.

Парні коефіцієнти кореляції

Інформацію про парну залежність може дати симетрична матриця коефіцієнтів парної регресії між змінними:

де – матриця нормалізованих змінних;

– матриця, транспонована до X^*[1]⁾.

Матриці нормалізованих змінних:

; .

Елементи нормалізованих векторів розраховують за формулами:

;

;

,

де n –кількість спостережень;

у_i*, х_ik*, х_ij* – нормалізовані (стандартизовані) змінні.

– середні значення залежної та незалежних змінних;

– середньоквадратичні відхилення змінних.

Дисперсії кожної змінної мають такі зна­чення:

Тоді знаменники для нормалізації кожної змінної будуть такими:

y^*: ;

x_k^*: ;

x_j^*: .

Кореляційна матриця (матриця парних коефіцієнтів кореляції) має наступний вигляд:

.

Парні коефіцієнти кореляціїдають оцінку тісноти зв’язку між парами змінних:

незалежною х_k та залежною y – ;

незалежною х_j та залежною y – ;

незалежними змінними х_k та х_j – .

Кореляційна матриця коефіцієнтів парної регресії симетрична і має розмір 3× 3:

Кожний елемент цієї матриці характеризує тісноту зв'язку однієї змінної з іншою.

При розрахунках матриця нормалізованих змінних подається у вигляді:

Матриця, транспонована до X^*:

Шукана кореляційна матриця:

Діагональні елемен­ти характеризують тісноту зв'язку однойменних змінних, тому вони дорівнюють одиниці.

Решта елементів матриці r_ххтакі:

тобто вони є парними коефіцієнтами кореляції між змінними.

Користуючись цими коефіцієнтами, можна зро­бити висновок про наявність кореляційного зв'язку між змінними.

Частинні коефіцієнти кореляції

Частинні коефіцієнти кореляції, як і парні, характеризують тісноту зв’язку між двома змінними, але за умови, що решта змінних сталі.

Розрахунок частинних коефіцієнтів кореляції базується на обернений матриці до матриці r_xx (матриця С):

,

де с_kj – елемент матриці С, що міститься в k -му рядку i j -му стовпці;
с_kk і с_jj – діагональні елементи матриці С.

Частинні коефіцієнти кореляції характеризують рівень тісноти зв'язку між двома змінними за умови, що решта змінних на цей зв'язок не впливає.,

Частинні коефіцієнти кореляції за модулем нижчі, ніж коефіцієнти парної кореляції, бо на їхній рівень не впливає решта змінних, які мають зв'язок із цими двома.

Частинні коефіцієнти кореляції мають досить важливе значення в різних проблемах економетричних досліджень.

Значимість зв'язку

Значимість зв'язку між залежною Y та незалежними змінними X у випадку множинної регресії можна перевірити за допомогою F-критерію Фішера з урахуванням ступенів вільності:

(4.13)

де (m₁–1) – ступені вільності загальної дисперсії (ступені вільності чисельника);

(n–m₁) – ступені вільності дисперсії залишок (ступені вільності знаменника);

n– кількість спостережень;

m₁– кількість параметрів моделі.

За другим рівноцінним означенням F-критерій Фішера дорівнює сумі квадратів відхилень фактичних значень Y від його середнього до суми квадратів відхилень фактичних значень Y від його розрахункових значень:

(4.14)

Фактичне значення F-критерію Фішера порівнюється з табличним при ступенях вільності f₁ = (n–m₁) і f₂ = (n–1)та вибраному рівню значимості a. Якщо F_розр> F_табл, то гіпотеза про значимість зв'язку між залежною та незалежними змінними множинної регресії підтверджується, у противному разі – відкидається.

4.4. Перевірка значимості коефіцієнта детермінації, коефіцієнта кореляції та оцінок параметрів моделі множинної регресії.

Перевірка значимості коефіцієнта детермінації

Коефіцієнт детермінації R² перевіряєть­ся на значущість за допомогою
F-критерію Фішера.

Висувається нульова гіпотеза H₀: R²=0. Це означає, що досліджу­ване рівняння не пояснює змінювання залежної змінної (Y) під впливом відпо­відних незалежних факторів.

У такому разі всі коефіцієнти при незалежних змінних мають дорівнювати нулю:

H₀: b₁ = b₂ =... = b_n = 0.

Альтернативною до неї є Н_А: (b_j ≠ 0), значення хоча б одного параметра моделі відмінне від нуля (тобто хоча б один із факторів впливає на змінювання залежної змінної).

За отриманими в моделі значеннями коефіцієнта детермінації R²обчислюють експериментальне значення F-статистики (2.12):

яке порівнюють з табличним значенням розподілу Фішера при зада­ному рівні значущості a (як правило, a= 0, 05 або a = 0, 01). Якщо F_експ > F_табл нульова гіпотеза відхиляється.

Відхи­лення нуль-гіпотези свідчить про значимість коефіцієнта детермінації.

Перевірка значимості коефіцієнта кореляції

У кореляційному аналізі для характеристики відхилень коефіцієнта кореляції, як вибіркової величини, від свого “істотного” значення вимагається перевірка його значимості за t-критерієм Ст’юдента:

(4.15)

де R² – коефіцієнт детермінації моделі;

R – коефіцієнт кореляції;

(n–m₁) – число ступенів вільності.

Розраховане за формулою фактичне значення t - критерію порівнюється з табличним значенням t_табл. Останнє обирається за статистичними таблицями на підставі прийнятого рівня значимості a та розрахованого числа ступіней вільності (n–m₁).Якщо t_a > t_табл, то можна зробити висновок про значимість коефіцієнта кореляції між змінними.

Перевірка значимості оцінок параметрів моделі

множинної регресії

У кореляційному аналізі може перевірятись також значимість оцінок параметрів моделі А із знаходженням їх довірчих інтервалів.

Припустивши, що залишки и розподілені за нормальним законом, приймається, що параметри моделі А також задовольняють нормальному розподілу. Тоді перевірку гіпотези про значимість оцінок параметрів моделі проводять згідно з t-критерієм Ст’юдента:

(4.16)

де – індивідуальні параметри матриці ;

– дисперсія залишків;

– діагональні елементи матриці (Х′ Х)^–1;

– стандартна помилка оцінки параметра моделі.

Обчислене значення t-критерію порівнюється з табличним t_табл. При вибраному рівні значимості a і (n–m₁) ступенях вільності. Якщо t_a > t_табл. то оцінка значимості відповідного параметру моделі є достовірною.

На підставі t-критерію і стандартної помилки встановлюються довірчі інтервали для параметра :

(4.17)

Коли стандартні помилки параметрів не перевищують абсолютні значення цих параметрів , то це може означати, що оцінки параметрів є незміщеними відносно їх істотних значень.

4.5. Приклад дослідження багатофакторної моделі