Тема 6. Умови оцінки параметрів економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів

6.1. Умови оцінки параметрів економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів

6.2. Поняття гомо- і гетероскедастичностi

6.3. Тестування наявності гетероскедастичності

6.1. Оцінювати параметри економетричної моделі за допомогою методу найменших квадратів можна за умов:

1) Математичне сподівання залишків, тобто середня величина випадкових значень, дорівнює нулю

М(u)=0(6.1)

Якщо ця умова не виконується, то йдеться про помилки специфікації.

Специфікацію моделі називають її аналітичну форму, яка складається з певного виду вибраної функції чи системи функцій для змінних. До помилок специфікації приводять:

· відсутність у моделі основної незалежної змінної, що призводить до зміщення оцінок параметрів і може привести до хибних висновків щодо значень параметрів;

· введення в модель незалежної змінної, яка не є істотною для вимірюваного зв'язку, що може привести до неправильно встановленого кількісного зв'язку між змінними;

· використання невідповідних аналітичних форм вибраних функцій для моделі, що як і при першій помилці специфікації може привести до зміщення оцінок параметрів моделі.

2) Значення u_i в матриці залишків uнезалежні між собою і мають постійну дисперсію :

, (6.2)

де Е –одинична матриця; u' – матриця, транспонована до матриці u.

Дисперсія відображає " розсіювання" випадкових значень u_i, навколо їх математичного сподівання.

Наявність сталої (постійної) дисперсії залишків називається гомосксдастичністю.Ця властивість може виконуватись лише тоді, коли залишки u є помилками вимірювання.

3) Незалежні змінні моделі не пов'язані із залишками:

М(Х'u) = 0. ( 6.3 )

При порушенні цієї умови для оцінювання параметрів моделі використовуються не 1МНК, а інші методи.

4) Незалежні змінні моделі утворюють незалежну систему векторів, тобто ці змінні незалежні між собою:

(6.4)

Якщо незалежні змінні пов'язані між собою, то це явище називають мультиколінеарністю і воно є небажаним, так як робить оцінку параметрів за допомогою 1МНК ненадійною, чутливою до вибраної специфікації моделі.

6.2. Поняття гомо- і гетероскедастичності.

Однією з чотирьох необхідних умов для застосування 1МНК при оцінюванні параметрів економетричної моделі (див. другу умову (6.2)) є вимога постійної дисперсії залишків для кожного спостереження, тобто . Ця властивість незмінної дисперсії в спостереженнях називається гомоскедастичністю.

Якщо дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень, тобто , то це явище називається гетероскедастичність.

Тут позначено: – дисперсія залишків, яка виступає невідомим параметром; S – відома симетрична додатньо визначена матриця.

Обидва терміни – гомоскедастичність та гетероскедастичність – запропоновані відомим російським вченим-статистиком А.А.Чупровим.

При наявності гетероскедастичності залишків u оцінки параметрів моделі 1МНК будуть незміщеними, обгрунтованими, але неефективними. При цьому формулу для обчислення стандартної помилки спостережень застосовувати не можна.

При наявності гетероскедастичності в простій економетричній моделі, тобто Y=а₀+а₁Х+u, щоб оцінити параметри 1МНК, достатньо змінити специфікацію моделі.

Коли будується модель множинної регресії з багатьма змінними, то таке перетворення значно ускладнюється. Тому спочатку треба одним із методів визначити наявність гетероскедастичності, а потім оцінити параметри моделі із застосуванням спеціального підходу.

6.3. Тестування наявності гетероскедастичності

Використання того чи іншого методу перевірки економетричної моделі на наявість гетероскедастичності залежить від вхідних даних. Можуть бути запропоновані чотири таких методи: критерій m; параметричний тест Гольдфельда-Квандта; непараметричний тест Гольдфельда-Квандта; тест Глейсера. Розглянемо послідовність тестування наявності гетероскедастичності.

Критерій m. Цей метод використовується при великої кількості сукупності спостережень п, яких може бути удвічі більше, ніж оцінюваних параметрів. Вхідні дані залежної змінної Y розбиваються на k груп з номерами r=1...k. За кожною групою спостережень розраховується сума квадратів відхилень:

(6.5)

Обчислюється сума квадратів відхилень у цілому для сукупності спостережень:

(6.6)

де — кількість спостережень у кожній групі г.

Розраховується параметр l:

(6.7)

де П – прибуток k виразів за цією позначкою.

Обчислюється критерій

m = –2 lnl, (6.8)

який наближено відповідає розподілу c² при ступені вільності (k-1) та рівні довіри (1–a). Якщо m > c²_табл, то урозглядаємій множині спостережень має місце гетероскедастичність.

Контрольні запитання

1. Дати означення гомоскедасттичності та гетероскедастичності.

2. Які існують методи визначення гетероскедастичності?

3. Як впливає явище гетероскедастичності на оцінку параметрів моделі?

Література [2, с. 89-100; 3, с.145-150; 4, с. 249-272; 5, с. 46-68, 95-97, 245-265]