Порядок виконання завдання. Дослідимо наявність мультиколінеарності, вико­навши такі кроки:

Дослідимо наявність мультиколінеарності, вико­навши такі кроки:

1. Нормалізацію (стандартизацію) пояснювальних змінних моделі.

2. Розрахунок кореляційної матриці r_хх.

3. Визначення детермінанта матриці r_хх i критерію c².

4. Розрахунок матриці C, оберненої до матриці r_хх.

5. Визначення F-критерію.

6. Обчислення частинних коефіцієнтів кореляції.

7. Визначення t-критерію Ст’юдента.

Крок 1. Нормалізація (стандартизація) пояснювальних змінних моделі.

Обчислимо середні арифметичні пояснювальних змінних:

;

;

.

Визначимо стандартні відхилення.

Позначимо вектори пояснювальних змінних – продуктивності праці, фондомісткості, коефіцієнтів плинності робочої сили – через Х₁, Х₂, Х₃. Елементи нормалізованих векторів обчислимо за формулою:

Де n– кількість спостережень, n = 15;

m – кількість пояснювальних змінних, m= 3;

– середнє арифметичне значення компонентів вектора Х_k,

– дисперсія змінної х_k: .

Із формули випливає, що спочатку потрібно обчислити середні арифметичні значення і величини для кожної пояснювальної змінної. Дисперсії кожної пояснювальної змінної мають такі значення:

	25, 3075556;
	43, 1875556;
	1, 96906667.

Усі розрахункові дані для нормалізації змінних Х₁, Х₂, X₃, згідно з поданими співвідношеннями наведено в табл. 7.4.

Таблиця 7.4

–6, 1667	–8, 1333	–1, 7	38, 03	66, 151	2, 7556	–0, 3165	–0, 3196	–0, 3054
–4, 7667	–7, 9333	–1, 6	22, 72	62, 938	2, 4336	–0, 2446	–0, 3117	–0, 2870
–4, 5667	–7, 8333	–1, 6	20, 85	61, 361	2, 4336	–0, 2344	–0, 3078	–0, 2870
–4, 4667	–7, 3333	–1, 5	19, 95	53, 778	2, 1316	–0, 2293	–0, 2881	–0, 2686
–4, 0667	–5, 7333	–1, 5	16, 54	32, 871	2, 1316	–0, 2087	–0, 2253	–0, 2686
–3, 0667	–4, 1333	–1, 4	9, 40	17, 084	1, 8496	–0, 1574	–0, 1624	–0, 2502
–2, 4667	–3, 0333	–1, 3	6, 08	9, 201	1, 5876	–0, 1266	–0, 1192	–0, 2318
–2, 1667	0, 2667	0, 9	4, 69	0, 071	0, 8836	–0, 1112	0, 0105	0, 1730
0, 8333	1, 2667	1, 0	0, 69	1, 604	1, 0816	0, 0428	0, 0498	0, 1914
1, 8333	3, 2667	1, 0	3, 36	10, 671	1, 0816	0, 0941	0, 1283	0, 1914
1, 9333	6, 2667	1, 1	3, 74	39, 271	1, 2996	0, 0992	0, 2462	0, 2098
3, 1333	6, 3667	1, 1	9, 82	40, 534	1, 2996	0, 1608	0, 2501	0, 2098
3, 6333	6, 5667	1, 3	13, 20	43, 121	1, 7956	0, 1865	0, 2580	0, 2466
8, 9333	8, 2667	1, 8	79, 80	68, 338	3, 3856	0, 4585	0, 3248	0, 3386
11, 4333	11, 8667	1, 8	130, 72	140, 818	3, 3856	0, 5868	0, 4662	0, 3386
Всього…			379, 61	647, 81	29, 536

Тоді знаменник для нормалізації кожної пояснювальної змінної буде такий:

Матриця нормалізованих змінних подається у вигляді:

Крок 2. Розрахунок кореляційної матриці нульового порядку [2] ⁾.

де – матриця нормалізованих пояснювальних змінних;

– матриця, транспонована до X^*.

Маємо:

Кожний елемент цієї матриці характеризує тісноту зв'язку однієї пояснювальної змінної з іншою. Оскільки діагональні елементи характеризують тісноту зв'язку кожної незалежної з цією самою змінною, то вони дорівнюють одиниці.

Решта елементів матриці r_хх такі:

Парні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв'язку між двома змінними. Вони можуть змінюватися в межах від –1 до 1.

Коефіцієнти парної кореляції r₁₂, r₂₃ близькі до одиниці, тому можна передбачити, що досліджувані пояснювальні змінні є мультиколінеарними. Користуючись цими коефіцієнтами, можна зробити висновок, що між змінними Х₁ і Х₂, та Х₂ і Х₃ існує вельми високий зв'язок.

Постає запитання: чи можна стверджувати, що цей зв’язок є виявленням мультиколінеарності і через це негативно впливатиме на оцінку параметрів економетричної моделі?

Щоб відповісти на це запитання, потрібно ще раз звернутися до алгоритму Фаррара-Глобера і знайти статистичні критерії оцінки мультиколінеарності.

Крок 3. Обчислимо детермінант кореляційної матриці r_хх і критерій χ ²:

а)

б) (n=15; m=3)

ln|r_xx | = –4, 8226;

Отже, критерій c²= 58, 6749.

Якщо ступінь свободи дорівнює а рівень значущості a=0, 01, то критерій χ ²_табл = 11, 3449.

Оскільки < доходимо висновку, що в масиві змінних існує мультиколінеарний зв'язок.

Крок 4. Розрахуємо матрицю C, обернену до матриці r_xx:

Матриця C – симетрична, і її діагональні елементи завжди мають бути додатними.

Крок 5. Визначення F-критерію:

де n– кількість спостережень; m – кількість пояснювальних змінних.

Виконавши обчислення, дістанемо:

;

;

.

Коли a = 0, 05 і ступені свободи m–1=3–1=2, n–m=15–3=12 маємо F_крит = 3, 885.

Фактично знайдене значення F-критерію порівнюємо з табличним. У нашому випадку F_факт > F_крит , тобто пояснювальні змінні мультиколінеарні з рештою змінних.

Коефіцієнт детермінації до кожної змінної:

Якщо коефіцієнт детермінації наближається до одиниці, то пояснювальна змінна мультиколінеарна з іншими.

Крок 6. Обчислення частинних коефіцієнтів кореляції:

де c_kj – елемент матриці С, що міститься в k-му рядку i j-му стовпці;
c_kk і c_jj – діагональні елементи матриці С.

Частинні коефіцієнти кореляції характеризують рівень тісноти зв'язку між двома змінними за умови, що решта змінних на цей зв'язок не впливає. Частинні коефіцієнти кореляції за модулем нижчі, ніж коефіцієнти парної кореляції, бо на їхній рівень не впливає решта змінних, які мають зв'язок із цими двома.

Крок 7. Обчислення t-критеріїв:

Обчислені t-критерії порівнюємо з табличним за вибраного рі­вня значущості a = 0, 05 і ступенів свободи n–m= 12.

Якщо t_kj більше за t_табл, як у нашому випадку, то пара цих пояснювальних змінних тісно пов'язана між собою.

Оскільки розраховані t₁₂ > t_табл та t₂₃ > t_табл, то можна зробити висновок, що пари цих пояснювальних змінних (X₁ і X₂ та X₂ і X₃) – тісно пов'язані між собою.

Висновок.

Оскільки < доходимо висновку, що в масиві змінних існує мультиколінеарний зв'язок.

t₁₂ > t_табл – між змінними Х₁ і X₂ (продуктивністю праці та чисельністю працівників) існує мультиколінеарність.

t₂₃ > t_табл – між змінними Х₂ і X₃ (чисельністю працівників та фондовіддачею) існує мультиколінеарність.

А це означає, що метод найменших квадратів застосувати в цьому разі не можна.

Контрольні запитання

1. Зміст поняття «мультиколінеарність» та причини її виникнення?

2. Ознаки мультиколінеарності.

3. Суть алгоритму Фаррара–Глобера та мета його застосування?

4. Яке співвідношення свідчить про наявність мультиколінеарності між змінними?

5. Як використовуються F-критерії в оцінці мультиколінеарності змінних?

6. Як визначаються і для чого використовуються t-критерії в аналізі мультиколінеарності змінних?

7. Як усунути мультиколеніарність?

8. Яким методом можуть бути оцінені параметри моделі з мультиколінеарними змінними?

Література: [2, с. 72-84; 3, с. 138-144; 4, с. 228-248; 5, с. 203-215; 6, с. 121-123]

Тема 8. Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена)

8.1. Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена)

8.2. Прогноз за моделлю

8.1. Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена).

Економетрична модель, в якої спостерігається явище гетероскедастичності, є узагальненою моделлю. Для оцінювання її параметрів слід використовувати не метод найменших квадратів (1МНК), а узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена, або скорочено УМНК). Ідея УМНК полягає у знаходженні оцінок матриці параметрів А моделі з використанням додатково визначеної діагональної матриці S, за допомогою якої коригується вхідна інформація.

Матриця S має вигляд:

(8.1)

де l_t – параметри, які обчислюються з використанням гіпотез:

а) дисперсія залишків пропорційна до змін пояснювальної змінної х_і, тоді ;

б) дисперсія залишків пропорційна до зміни квадрату пояснювальної змінної , тоді ;

в) дисперсія залишків пропорційна до зміни квадрату залишків за модулем | u_i| ², тоді .

Оскільки матриця S = Р'Р, то матриця Р має вигляд:

;

За наявністю гетеросксдастичності узагальнена модель має вигляд:

Y* = АХ* + u* (8.2)

де Y* = P^–1Y; Х* = P^–1X; u*= P^–1 u

Використання для узагальненої моделі (8.2) 1МНК приводить до такого оператора оцінювання параметрів УМНК:

(8.3)

8.2. Прогноз за моделлю.

Найкращий лінійний незміщений прогноз за моделлю УМНК визначається за співвідношенням

, (8.4)

де – відома симетрична додатково визначена матриця;

W – матриця поточних і прогнозних значень залишків;

Х_о – заданий вектор точкового періоду.

Величина визначає залишки прогнозного періоду і може розглядатися як помилка прогнозу на підставі моделі .

Контрольні запитання

1. У чому суть узагальненого методу найменших квадратів?

2. Як використовується матриця S в методі УМНК?

3. У яких випадках використовується УМНК (метод Ейткена)?

Література: [2, с. 100-104; 3, с. 151-155; 5, с. 270-288; 6, с.123]

Методичні вказівки

до самостійної роботи студентів і виконання лабораторних та контрольних робіт

Наведені завдання для самостійної роботи та розв’язання до них дають змогу поглибити та систематизувати знання студентів з економетрії, які були набуті ними під час вивчення дисципліни та виконання лабораторних робіт. Самостійна робота спрямована на опанування студентами методології створення економетричних моделей, які відображають взаємозв’язки та взаємозалежності між економічними процесами на рівні макроекономіки та економіки підприємства, проведення кількісних досліджень економічних явищ, пояснення та прогнозування розвитку економічних процесів та одержання додаткової інформації необхідної для економічного аналізу і прийняття ефективних управлінських рішень.

Лабораторні роботи з дисципліни „Економетрія”, що виконують студенти-бакалаври, спрямовані на практичне засвоєння матеріалу з тем дисципліни, передбачених навчальною програмою.

Завдання до лабораторних робіт дають студентам можливість не тільки опанувати методи побудови економетричних моделей за допомогою програмного забезпечення і комп’ютерної техніки, а й набути практичних аналітичних навичок математичного моделювання економічних процесів, які є основою економічних досліджень.

У лабораторних роботах необхідно виконати розрахунки та побудувати моделі за темами: «Побудова парної лінійної економетричної моделі», «Побудова двофакторної лінійної економетричної моделі», «Методи побудови множинних економетричних моделей», «Методи побудови нелінійних економетричних моделей», «Мультиколінеарність».