Лабораторна робота № 2. Побудова двофакторної лінійної моделі продуктивності праці

Згідно варіанту завдання (дод. 1) побудувати двофакторну лінійну регресійну модель залежності продуктивності праці (Y, тис.грн./чол.) від втрат робочого часу, (Х₁) та коефіцієнту використання потужностей (Х₂ ). Необхідно:

1. Знайти параметри моделі.

2. Розрахувати коефіцієнти еластичності, кореляції та детермінації; стандартну та відносну похибки; критерій Фішера.

3. Представити модель на графіку, побудувавши поле кореляції та теоретичну лінію регресії.

4. Зробити загальний економічний аналіз моделі.

Розв’язання.

1. Економічний зміст змінних:

Y – продуктивність праці, тис.грн /чол. (залежна змінна);

Х₁ – рівень втрат робочого часу, тис.люд.-год./рік (незалежна змінна);

Х₂ – коефіцієнт використання потужностей, % (незалежна змінна).

2. Загальний вид лінійної форми економетричної моделі:

Y = а₀ + а₁Х₁ + а₂Х₂ + u,

де а₀, а₁, а₂ – параметри моделі; u – залишки, інші невраховані чинники.

2. Вихідні дані для розрахунків та побудови моделі наведені
в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

4. Для визначення коефіцієнтів регресії а₀, а₁ та а₂, складаємо систему нормальних рівнянь:

а₀ N + а₁ SX₁ + а₂ SX₂ = SY

а₀ S X₁ + а₁ S (X₁)² + а₂ SX₁× X₂ = SY× X₁ (2.1)

а₀SX₂ + а₁ SX₁× X₂ + а₂ S(X₂)² = SY× X₂

де n – кількість спостережень, n = 15.

Всі суми обраховуються на основі вихідних статистичних даних
в таблиці 2.2.

5. На основі рівняння 2.1 та обрахованих сум в таблиці 2.2 запишемо для нашого прикладу:

а₀ × 15 + а₁ × 80, 9 + а₂ × 1029, 3 = 237, 4

а₀ × 80, 9 + а₁ × 530, 07+ а₂ × 5260, 28 = 1196, 84

а₀ × 1029, 3 + а₁ × 5260, 28 + а₂ × 71690, 15 = 16554, 47

В результаті розв’язання системи отримуємо значення:

а₀ = 18, 052, a₁ = –0, 797, a₂ = 0, 03.

Таким чином, рівняння регресії буде мати вигляд:

Y_розр = 18, 052 – 0, 797 × Х₁ + 0, 03 × Х₂.

6. Коефіцієнт детермінації для даної моделі:

Визначимо скорегований коефіцієнти детермінації.

Для цього обчислимо дисперсії залежної змінної та залишків.

;

.

;

.

Скорегований коефіцієнт детермінації буде дорівнювати:

;

.

Справедлива нерівність:

Отриманий коефіцієнт детермінації R² = 0, 977 свідчить про те, що варіація рівня продуктивності праці на 97, 7 % визначається варіацією незалежних змінних Х₁ та Х₂ і лише 2, 3 % змін Y припадає на невраховані в задачі чинники.

Таблиця 2.2

7. Оцінка точності по середньоквадратичній похибці:

8. Відносна похибка:

9. Оцінка достовірності по розрахунковому критерію Фішера

F_розр. = 76, 07: 1, 49 = 51, 08

Порівнюємо розрахункове значення критерію Фішера з табличним:

F⁹⁵_табл. = 2, 5;

F_розр. > F⁹⁵_табл.

Модель приймаємо – припускаємо присутність лінійного зв'язку.

10. Коефіцієнт множинної кореляції

;

, що свідчить про вельми високий зв’язок між показниками Y та X₁ , X₂.

11. Коефіцієнт регресії а₁ = – 0, 797 показує, що зниження втрат робочого часуна 1 тис. год./рік може привести до роступродуктивностіпраці на
0, 797 тис.грн./чол.

Коефіцієнт регресії а₂ = 0, 03 показує, що підвищення коефіцієнту використання потужності на 1% може привести до росту продуктивності праці на 0, 03 тис.грн./чол.

12. Графічне відображення моделі базується на побудові ліній регресії у прямокутних координатах Y–Х₁ та Y–Х₂. При цьому масштаб необхідно вибрати таким, щоб мінімальні і максимальні значення X₁ та X₂ співпадали між собою.

13. Відносна зміна залежної змінної Y в процентах при зміні на 1% аргументів Х₁ та Х₂ характеризують коефіцієнти еластичності Е₁ та Е₂, які розраховуються за наступною формулою:

де а_і – коефіцієнт регресії при і-тому факторі;

– середнє значення і-тої незалежної змінної (фактора);

– середнє значення залежної змінної (розрахункове).

Розраховані коефіцієнти еластичності дають можливість побудувати графік еластичності:

14. Порівняємо дві моделі (лаб. № 1 та лаб. № 2)

Коефіцієнти кореляції r = 0, 9879 та r = 0, 9902 свідчать про те, що залучення другої змінної Х₂ збільшує тісноту зв’язку між залежною і факторами. Середньоквадратична похибка зменшилася з 0, 3413 до
0, 3261 тис.грн./рік. Відносна похибка зменшилась з 2, 157% до 2, 06%.

15. Висновок.

З аналізу одержаної моделі залежності продуктивності праці від втрат робочого часу і коефіцієнту використання потужності можна зробити висновок, що модель достовірна і може бути використана для кількісного практичного економічного висновку.

На даному підприємстві збільшення продуктивність праці обумовлюється зменшенням втрат робочого часу. Так, при зменшенні втрат робочого часу на кожну 1 тис.год./рік, продуктивність праці збільшиться на 0, 797 тис.грн./чол.

При збільшенні коефіцієнту використання потужності на 1% продуктивність праці зросте на 0, 03 тис.грн./чол.

Тема: «Методи Побудови множинних економетричних моделей»