Использование теории нечетких множеств для получения управленческих оценок

Общие положения

В предыдущих разделах мы рассматривали с вами экспертные оценки в виде числа, которое характеризует субъективную ценность в виде “веса” или интервала значений. Действительно, субъективная оценка в виде числа формируется каждым экспертов в процессе оценивания ими некоторого набора факторов. Полученная на их основе групповая оценка представляется уже в виде интервальной на основе получения нижней и верхней границ оценки.

Нечеткий интервал – это удобная форма представления неточных величин, более богатая информацией, чем обычный, точный интервал. Действительно, часто встречаются ситуации, когда требуется оценить точность некоторого параметра или обеспечить прогноз значения некоторого признака, а обычный интервал оказывается неудовлетворительным представлением. Следует ли в таком случае фиксировать границы этого интервала: давать пессимистические оценки (тогда интервал окажется широким, а проводимые расчеты будут иметь ничтожную ценность из-за их неточности) или оптимистические (тогда будет существовать риск выхода за пределы назначенной области, что подвергает сомнению получаемые “точные” оценки)? Нечеткий интервал позволяет иметь одновременно пессимистическое и оптимистическое представление: носитель нечеткого интервала будет выбираться так, чтобы гарантировать “невыход” рассматриваемой величины за нужные пределы, а его ядро будет содержать наиболее правдоподобные значения.

Остановимся на общих положениях определения нечетких величин.

Множество событий, связанных с базой неточных и неопределенных знаний, понимается как подмножество универсального множества W, называемого достоверным событием, в то время как пустое множество Æ отождествляется с событием невозможным. Предполагается, что каждому событию А Ì W, можно поставить в соответствие число g(А), задаваемое либо субъектом («хранителем» базы знаний), либо получаемое с помощью процедур статистической обработки информации, имеющейся в информационной системе. Значение g(А) представляет собой степень уверенности субъекта по отношению к событию А с учетом уровня его информационности, которое растет с увеличением уверенности.

При этом полагают, что g(А=Æ)= 0, g(А=W)=1.

Однако g(А)=1 (или соответственно 0), вообще говоря, не означает, что А непременно является достоверным (соответственно, невозможным) событием.

Для обеспечения некоторого минимума согласованности при определении функции множества g используется аксиома монотонности по включению:

А Í В Þ g(А) < g(В). (3.1)

Это означает следующее: если событие А влечет за собой другое событие В, то всегда имеется по меньшей мере столько же уверенности в появлении события В, сколько в появлении события А.

Исходя из выражения (3.1), можно записать следующие неравенства, которые будут характеризовать объединение А U В или пересечение А ∩ В событий:

" А, В Í W, g (А È В) > max (g(А), g(B))

g(А ∩ B) < min g(А), g(B)). (3.2)

Предельным случаем операции объединения является функция множества П:

" А, В, ∏ (А È В) = max (∏ (А), ∏ (В)). (3.3)

Они называются мерами возможностей, предложенными Л.Заде в 1978г.

Когда множество W конечно, то всякую меру возможности П можно определить как отображение из W в [0, 1], то есть p(w):

∏ (А) = sup (p (w)½ w Î А), (3.4)

причем p (w) называют нормированной функцией распределения возможностей.

Другим предельным случаем операции пересечения из (3.2) является функция множества N:

" А, В, N (А ∩ B) < min (N (А), N (B)). (3.5)

Этот класс функций множества называют мерами необходимости.

Выражения (3.3) и (3.5) связаны между собой следующим соотношением:

" А, ∏ (А) = 1 - N (А)

где А, А – противоположные события.

Это отношение двойственности между модальностями «возможно» и «невозможно» означает, что всегда можно построить нормированную функцию распределения необходимости исходя из нормированной функции распределения возможностей как

N (А) = inf (1 - (p (w)½ w Ï А)