Сравнение нечетких интервалов

Для упорядочения множества, состоящего из n нечетких интервалов { N ₁, N ₂, …, N_n } можно использовать способ нечетких отношений, полученных попарным сравнением интегралов N_i. Тогда обобщенный показатель превосходства можно определить как тот факт, что интервал N_i превосходит «самый большой» из интервалов N_j, j ¹ i, то есть построить четыре показателя превосходства [36, 94]:

Pos ( > Y ₂) – возможность того, что наибольшие значения параметра Y₁ будут по меньшей мере равны наименьшим значениям параметра Y₂;

Pos ( > ) – возможность того, что наибольшие значения Y₁параметра будут больше наибольших значений параметра Y₂;

Nec (Y ₁ > Y ₂) – необходимость того, что наименьшие значения параметра Y₁ будут по крайней мере равны наименьшим значениям параметра Y₂;

Nec (Y ₁ > ) – необходимость того, что наименьшие значения параметра Y₁ будут больше наибольших значений параметра Y₂. Этот показатель является мерой строгого домирования одного интервала над другим.

Тогда множество { N ₁, N ₂, …, N_n } можно упорядочить по значениям каждого из этих показателей. В результате такой операции можно получить четыре отношения линейного порядка, которые при условии их согласованности, позволяют определить результирующее упорядочивание.

Задача непосредственного вычисления значений четырех показателей сравнения сводится к отысканию точек пересечения соответствующих функций принадлежности. Предположим, имеются два нечетких интервала N₁ и N₂, изображенные на рис. 3.3.

Рис.3.3.

Запишем каждый из нечетких интервалов в параметрическом виде:

N ₁ (m ₁, , a ₁, b ₁) и N ₂ (m ₂, , a ₂, b ₂).

В соответствии с рис. 2.4. и учитывая тот смысл, который имеют каждый из четырех показателей сравнения, для определения их численных мер должны быть решены следующие уравнения:

1. Найти значение х, такое, что

R((x – )/ b ₁) = L((m ₂ – x)/ a ₂) = Pos ( > Y ₂).

Это является пересечением правой части функции принадлежности m_N1 левой части функции принадлежности m_N2. Здесь и далее индексы R и L указывают на правую и левую части функции принадлежности соответственно.

2. Найти значение х такое, что

L(( - x)/ a ₁) = 1- L(( a ₂) = Nec (Y ₁ > Y ₂),

то есть пересечение левых частей функций принадлежности m_N1 и (1-m_N2).

3. Найти значение х такое, что

1-R((x – )/ b ₁) = R(( b ₂) = Pos ( > ),

то есть пересечение правых частей функций принадлежности (1-m_N1) и m_N2.

4. Найти значение х такое, что

1-L(( - x)/ a ₁) = 1-R (( b ₂) = Nec (Y ₁ > ),

(пересечение левой части функции принадлежности m_N1 и правой части функции принадлежности -m_N2).

Учитывая это, легко определить выражения для показателей сравнения, рассматриваемых как функции от модальных значений и коэффициентов нечеткости двух интервалов.

Например, для нахождения величины Pos ( > ), нужно найти точку пересечения правых частей функций распределения возможностей m₁ = 1 – (х₁ – т₁) / b₁ и p₂ = (х₂ – т₂) / b₂ (см.рис.3.4).

Исходя из этого:

Pos ( > ) b₁ = b₁ – х + т₁, (3.9)

Pos ( > ) b₂ = х т₂, (3.10)

Выразим из (3.9) и (3.10) величину х, приравняем правые части и получим

Pos ( > ) b₂ + т₂ = b₁ + т₁ - Pos ( > ), × b₁

Отсюда

Pos ( > ) = ( + b₁)/ (b₁ + b₂)

Рис.3.4.

При сравнении n нечетких интервалов получим (n-1) значений возможностных мер, причем результирующая возможностная мера Pos ( > ) при j¹ 1, определяется исходя из требований нормализации функций принадлежности, т.е. ее значение должно находиться в интервале [0, 1]:

Pos ( > ) = max (0, min (1, ( + b₁)/ (b₁ + b₂))). (3.11)

Рассуждая аналогичным образом, можно также выразить и другие численные меры сравнения двух нечетких интервалов:

Nec (Y ₁ > Y ₂)=max (0, min (1, (т ₁- т ₂ + a₂)/ ( + a₂))) (3.12)

Pos ( > Y ₂) = max (0, min (1, 1+( - т ₂) / ( + a₂))) (3.13)

Nec (Y ₁ > ) =. max (0, min (1, ( - )/ (a₁ + ))) (3.15)

Пример сравнения трех нечетких интервалов (N₁, N₂, N₃) на основе расчета показателя возможности вида Pos().

На рис. 3.5 показаны данные нечеткие интервалы.

Рис. 3.5

Запишем нечеткие интервалы в параметрическом виде: . Произведем расчет величины в соответствии с (3.11):

1. Сравним N ₁ с N ₂: .

2. Сравним N ₁ с N ₃: .

3. Определим Pos()=max(0, min(1, 1/2, 2/5))=max(0, 2/5)=2/5.

4. Сравним N ₂ с N ₁: .

5. Сравним N ₂ с N ₃: .

6. Определим Pos()=max(0, min(1, 1/2, 1/3))=max(0, 1/3)=1/3.

7. Сравним N ₃ с N ₁: .

8. Сравним N ₃ с N ₂: .

9. Определим Pos()=max(0, min(1, 3/5, 2/3))=max(0, 3/5)=3/5.

Итак, получим окончательную ранжировку трех нечетких интервалов по показателю Pos().

Табл.3.1

Нечеткий интервал	Pos()	Ранжировка параметров
N 1	2/5
N 2	1/3
N 3	3/5

Таким образом, наибольшую важность имеют значение параметров N ₃, затем N ₁ и в последнюю очередь, N ₂.Причем весовые оценки полученных параметров в данном случае определяются значениями возможности, а именно Pos().