Динамических свойств элементов системы

Использование передаточных функций для отражения

динамических свойств элементов системы

Сложную экономическую систему, используя метод последовательной декомпозиции, можно представить в виде совокупности простых элементов, соединенных между собой прямыми и обратными связями. Динамика поведения каждого элемента описывается различного вида дифференциальными уравнениями. Для описания динамики элементов с сосредоточенными параметрами используются линейные дифференциальные уравнения в полных производных.

Нахождение параметров отдельных элементов системы существенно проще, чем в целом исследуемой системы. При известном виде уравнений элементов и их параметров можно синтезировать любую сложную систему.

С целью упрощения методов расчета и анализа поведения экономических систем уравнения динамики элементов системы целесообразно записывать не через оригиналы функций, а в виде изображений функций, получаемых с помощью прямого преобразования Лапласа.

Если оригинал x(t) представляет собой функцию времени t, то изображение этой функции X(p ) является функцией комплексной переменной p и задается с помощью интеграла вида:

(2.1)

В этом случае, если оригинал функции представляет собой интегро-дифференциальное уравнение вида:

, (2.2)

то ее изображение имеет вид:

(2.3)

В справочниках по математике приводятся основные операции с оригиналами и соответствующие им операции с изображениями. Например, операциям дифференцирования и интегрирования оригиналов функций соответствуют операции умножения и деления на величину комплексной переменной p изображений функций.

Если произвести деление изображения выходной функции на входную функцию, то получим так называемую передаточную функцию. Для выражения (2.3) она имеет вид:

. (2.4)

Для унификации используемых простейших динамических элементов системы вводится понятие типовых динамических звеньев. К таким звеньям относят: пропорциональные, устойчивые и неустойчивые апериодические, устойчивые и неустойчивые колебательные, интегрирующие, дифференцирующие, чистого запаздывания и нелинейные звенья.

При поступлении на вход этих динамических звеньев показателей, изменяющихся по одному типовому закону, на выходе данных звеньев получим выходные показатели, закономерность изменения которых будет отражать динамические свойства этих звеньев. Это позволяет сравнивать отдельные звенья между собой с точки зрения их динамических свойств, а зная реакцию системы на типовые воздействия, можно судить о том, как она будет вести себя при сложных изменениях входной величины.

Если на вход звена поступает показатель, изменение величины которого можно описать функцией вида:

0 при t ≤ 0

x(t) =, (2.5)

1 при t > 0

то при нулевых начальных условиях системы, реакция на выходе системы будет называться переходной функцией (или переходной характеристикой), которую обычно обозначают как y(t) = h(t). Функцию (2.5) обычно называют типовой единичной функцией.

Рассмотрим вид дифференциальных уравнений, передаточных функций и графики переходных процессов на выходе типовых звеньев при типовых входных воздействиях на них и особенности поведения при этом звеньев.