Определение и описание случайного процесса

Введение

Данное учебное пособие предназначено для методического обеспечения практических занятий и самостоятельной работы студентов в рамках курса «Теория случайных процессов», изучаемого на факультете прикладной математики и кибернетики. В пособии изложены основные понятия теории случайных процессов (вероятностные распределения и способы их описания). Описаны важнейшие модели марковских процессов с дискретным и непрерывным временем, методы их исследования и использования для решения прикладных задач, в том числе задач теории массового обслуживания. Рассмотрены решения многочисленных типовых примеров, приведены задачи для самостоятельного решения.

Глава 1. Элементы теории случайных процессов

Определение и описание случайного процесса

Случайные процессы являются удобной математической моделью функций времени, значения которых случайные величины. Например: число звонков, поступающих в единицу времени на телефонную станцию, являясь случайной величиной, зависит от времени суток; расход электроэнергии в единицу времени – тоже функция времени со случайными значениями; координаты броуновской частицы меняются со временем и принимают случайные значения. То есть можно сказать, что случайный процесс – это однопараметрическое семейство случайных величин, зависящих от значений параметра, имеющего смысл времени.

Пусть задано вероятностное пространство {W, F, P }.

Случайная величина x_w – это измеримая функция, отображающая это вероятностное пространство на борелевскую прямую { R, B }.

Рассмотрим теперь функцию, зависящую от двух аргументов x(w, t), wÎ W, t Î T.

Определение. Функцию x(w, t) называют случайным процессом, если при " t Î T она является измеримой функцией аргумента w, то есть случайной величиной.

При фиксированном значении параметра t, функция x _t (w) является случайной величиной, которую будем называть сечением случайного процесса в момент времени t.

Если зафиксировать некоторое элементарное событие w, то получим неслучайную функцию времени – x_w(t), которую будем называть реализацией случайного процесса.

Совокупность всех реализаций случайного процесса называется ансамблем реализаций.

В дальнейшем случайный процесс x(w, t) будем обозначать x(t), где аргумент t имеет смысл времени

Пример 1.1. Пусть случайный процесс x=tU, tÎ [0, 1], где U~R[0, 1] – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, 1]. Описать множество сечений и реализаций случайного процесса x(t).

Решение. При фиксированном t ₀ сечение x _t (w)= t ₀ U (w) является случайной величиной, имеющей равномерное распределение на отрезке [0, t ₀].

Реализации случайного процесса x(t), то есть неслучайные функции xw₀(t)= U (w₀) t, являются прямыми линиями, выходящими из начала координат со случайным угловым коэффициентом, равным U (w₀).

Рассмотрим сечение x(t ₁) случайного процесса x(t) в момент времени t ₁.

Функцию

F _x(x ₁, t ₁)= P {x(t ₁)< x ₁}

называют одномерной функцией распределения случайного процесса в момент времени t ₁.

Если зафиксировать два значения моментов времени t ₁ и t ₂, то функция

F _x(x ₁, t ₁; x ₂, t ₂)= P {x(t ₁)< x _1, x(t ₂)< x ₂}

называется двумерной функцией распределения случайного процесса.

Для n сечений случайного процесса функция

F _x(x ₁, t ₁; …; x_n, t_n)= P {x(t ₁)< x _1, …._, x(t_n)< x_n } (1.1)

называется n-мерной функцией распределения случайного процесса.

Будем считать, что случайный процесс x(t) задан, если задано семейство функций распределений (1.1) для " n.

Функция F _x(x ₁, t ₁; …; x_n, t_n) должна удовлетворять очевидным соотношениям, которые называются условиями согласованности:

, (1.2)

, (1.3)

где i ₁, i ₂, …, i_n – любая перестановка индексов 1, 2, … n для " n. Теперь можно сформулировать ещё одно определение случайного процесса.

Определение. Случайным процессом x(t), заданным на множестве называется семейство распределений (1.1), удовлетворяющих условиям согласованности (1.2) и (1.3).

Набор функций F _x(x ₁, t ₁; …; x_n, t_n) для n = 1, 2, … называют конечномерным распределением случайного процесса x(t).

Если функция F _x(x ₁, t ₁; …; x_n, t_n) допускает представление

,

где p _x(x ₁, t ₁; …; x_n, t_n) – некоторая измеримая неотрицательная функция такая, что

,

то p _x(x ₁, t ₁; …; x_n, t_n) называется n-мерной плотностью распределения случайного процесса x(t).

При этом условия согласованности примут вид

,

.

Рассмотрим примеры на нахождение конечномерных функций распределения.

Пример 1.2. Пусть случайный процесс x(t)=j(t)V, tÎ [0, 1], где V – некоторая случайная величина, с функцией распределения F_V(x), а j(t)> 0. Найти многомерную функцию распределения случайного процесса x(t).

Решение. В соответствии с определением

.

Если функция распределения F_V (x)имеет плотность p_V (x), тосуществует и одномерная плотность случайного процесса x(t). Так как для n =1 имеем

,

То .

Пример 1.3. Пусть случайный процесс, определяется соотношением x(t)=Ut+V, где U и V–независимые случайные величины с функциями распределения F_U(x), F_V(y). Определить вид реализаций данного процесса и найти закон распределения.

Решение. Реализации этого случайного процесса представляют собой прямые линии со случайным наклоном и случайным начальным значением при t =0.

Одномерная функция распределения случайного процесса x(t) при t> 0 имеет вид

.

Если же t =0, то F _x(x, t)= F_V (x).

Для n -мерной функции распределения, аналогично предыдущему примеру, получаем вид

.

Характеристическая функция конечномерного распределения вероятностей случайного процесса определяется также как для многомерных случайных величин

При решении многих задач приходится иметь дело с несколькими случайными процессами. Для задания, например, двух случайных процессов x(t) и h(t) определяется (n + m) - мерная функция распределения:

Эта функция распределения в общем случае не обладает свойством симметрии относительно всех перестановок аргументов.

Пример 1.4. Пусть случайный процесс x(t)=j(t)V, tÎ [0, 1], где V- гауссовская случайная величина с параметрами a и s², j(t) – неслучайная функция. Найти характеристическую функцию случайного процесса x(t).

Решение. Пусть , тогда в силу x(t_k) = j(t_k) V, получаем , поэтому h – гауссовская случайная величина с математическим ожиданием и дисперсией:

.

Учитывая, что для случайной величины h характеристическая функция имеет вид

,

получаем выражение для характеристической функции x(t):

.

Задачи для самостоятельного решения

1. Пусть случайный процесс X (w, t) задан на вероятностном пространстве {W, F, P }, где: W={1, 2}, F – множество всех подмножеств множества W, P приписывает вероятности, равные 1/2, множествам {1} и {2}. Пусть множество значений параметра t есть отрезок [0, 1] и X (w, t)=w t. Найти реализации случайного процесса X (w, t) и его семейство конечномерных распределений.

2. Пусть случайный процесс X (w, t) определен на вероятностном пространстве {W, F, P }, где ={0, 1}, – мера Лебега. Пусть t Î (0, 1) и X (w, t)=1 при t £ w, X (w, t)=0 при t > w. Найти реализации случайного процесса X (w, t) и его семейство конечномерных распределений.

3. Пусть U – случайная величина, заданная функцией распределения F U(x), t > 0. Найти семейство конечномерных распределений случайного процесса x(t)= U + t.

4. Пусть X и Y – случайные величины такие, что Y имеет симметричное относительно нуля распределение, P (Y= 0)=0. Найти вероятность того, что реализации случайного процесса x(t)= X+t (Y+t) при t ³ 0 возрастают.

5. Случайный процесс представляет собой x(t)= V, где V – непрерывная случайная величина с плотностью p_v (x). Найти одномерную и двумерную плотности распределения процесса.

6. Поток покупателей является простейшим Пуассоновским с параметром l, это значит, что вероятность того, что за время t появится ровно k покупателей, определяется формулой Пуассона

,

Процесс x(t) представляет собой число покупателей пришедших от 0 до t (например, совпадает с началом рабочего дня). Найти одномерный закон распределения этого процесса.

7. Случайный процесс задан соотношением x(t)= X+ a t, t > 0, где X – случайная величина с непрерывной функцией распределения, а a> 0 –детерминированная постоянная. Пусть D Ì [0, ¥) – некоторое конечное или счетное подмножество. Найти вероятности событий:

а) P {x(t)=0 хотя бы для одного t Î D };

б) P {x(t)=0 хотя бы для одного t Î [0, 1]}.

8. Случайный процесс задан в виде x(t)= Vt ², где V – непрерывная случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a и s². Найти многомерную плотность распределения случайного процесса x(t).

9. Случайный процесс x(t) представляет собой аддитивную смесь некоррелированных между собой сигнала s (t) и помехи n (t). Известно, что сигнал есть детерминированная функция s (t)= A cos(Bt+j), а помеха n (t) – гауссовский белый шум с диспресией s². Записать одномерный закон распределения этого процесса.