Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Дифференциальные уравнения Колмогорова
|
|
Матрица инфинитезимальных характеристик позволяет найти вероятности pij (s, t) для любых s < t. Эти вероятности удовлетворяют прямой и обратной системам дифференциальных уравнений Колмогорова.
Для неоднородных цепей Маркова:
обратная система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид:
,
где 
– краевые условия, заданные на правой границе 
области изменения переменной 
.
прямая система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид:
,
где 
– краевые условия, заданные на левой границе 
области изменения переменной 
.
Для однородных цепей Маркова эти системы записываются следующим образом:
обратная система дифференциальных уравнений:
с начальными условиями 
прямая система дифференциальных уравнений:
с начальными условиями 
Иногда удобно записывать системы уравнений Колмогорова в матричной форме. Введем матрицу вероятностей переходов P (t)=|| pij (t)|| для однородной цепи Маркова с непрерывным временем и конечным числом состояний, тогда системы уравнений можно записать в виде
– прямая,
– обратная.
Обратная система уравнений применяется обычно для нахождения значений функционалов от цепей Маркова, прямую систему уравнений можно применять для нахождения безусловного распределения вероятностей 
состояний системы в произвольный момент времени.
Пример 3.1. Пусть x(t) является однородной цепью Маркова с двумя состояниями X={0, 1}. Время пребывания в состоянии 0 распределено по экспоненциальному закону с параметром l, а время пребывания в состоянии 1 распределено по экспоненциальному закону с параметром m. Составить прямую и обратную системы дифференциальных уравнений Колмогорова. Найти матрицу вероятностей переходов из состояния i в j, i, j =0, 1.
Решение: Пусть h0 – случайная величина, характеризующая время пребывания в состоянии 0, тогда
P {h0< D t }= F 0(D t)=1– e-l D t=p 01(D t) – вероятность того, что цепь Маркова за время D t перейдет из состояния 0 в состояние 1,
P {h0> D t }=1– F 0(D t)= e-l D t=p 00(D t) – вероятность того, что цепь Маркова за время 
не изменит своего состояния.
Аналогично, пусть h1 – случайная величина, характеризующая время пребывания в состоянии 
, тогда
P {h1< D t }= F 1(D t)=1– e-m D t=p 10(D t),
P {h1> D t }=1– F 1(D t)= e-m D t=p 11(D t).
Находим матрицу инфинитезимальных характеристик 
:
,
,
,
.
Составим прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова:
, (3.1)
, (3.2)
, (3.3)
. (3.4)
Обратная система дифференциальных уравнений Колмогорова будет иметь вид:
,
,
,
.
Начальные условия: 
Решая пары уравнений (3.1-3.2) и (3.3-3.4) находим искомые вероятности. Из первого уравнения получаем 
, подставляем в (3.2):
,
получаем дифференциальное уравнение второго порядка:
.
Откуда находим 
и, учитывая начальные условия, получаем 
,
.
Аналогично, находим
,
.
Задание: убедитесь, что полученное решение обращает в тождество и обратную систему дифференциальных уравнений Колмогорова.
Пример 3.2. Для рассмотренного выше примера решить задачу нахождения безусловных вероятностей Pi(t)=P{x(t)=i} – состояний системы в произвольный момент времени.
Решение: Для вероятностей P0(t)=P{x(t)=0} и P1(t)=P{x(t)=1} D t – методом составим прямую систему Колмогорова. Учитывая, что
,
,
,
,
имеем
,
.
Разделив полученные выражения на D t, и устремив D t ®0, получим систему дифференциальных уравнений вида
,
.
Пусть в начальный момент цепь Маркова находилась в состоянии 0, то есть P0(0)=P{x(0)=0}=1, P1(0)=P{x(0)=1}=0. Тогда решение системы дифференциальных уравнений принимает вид:
,
.