Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Средние величины и показатели вариации
|
|
Пример 1. Имеются следующие данные об эффективности деятельности предприятий отрасли (табл 22).
Таблица 22.
Показатели эффективности деятельности предприятий отрасли
| № п/п | Размер прибыли, млн. руб. | Выручка, млн. руб. | Рентабельность*, % |
| А | |||
| ? | |||
| ? | |||
| ? | |||
| ? | |||
| итого | - |
* Определите самостоятельно показатели рентабельности по каждому предприятию
Определите среднюю рентабельность предприятий отрасли используя:
1) гр. 1 и гр.2
2) гр. 1 и гр.3
Решение.
Экономический смысл рентабельности заключается в размере прибыли, получаемой на единицу затрат, т.е. 
1). гр. 1 и гр.2. Определим среднюю рентабельность, используя формулу средней арифметической простой
 |
или 22, 5%
2). гр. 1 и гр.3 Определим среднюю рентабельность, используя формулу средней гармонической взвешенной
 |
или 22, 5%
Средняя рентабельность предприятий составляет 22, 5% или 22, 5 коп. прибыли на 1 руб. затрат.
Пример 2. Имеются данные по группировке регионов РФ по уровню рождаемости в 2004 году (табл. 23).
Таблица 23
Группировка регионов РФ по уровню рождаемости в 2004 году
| Группы областей по коэффициенту рождаемости, ‰ | Количество областей в группе |
| 8, 3 - 8, 5 | |
| 8, 5 - 8, 7 | |
| 8, 7 - 9, 0 | |
| 9, 0 - 9, 2 | |
| 9, 2 и более | |
| Итого |
Определите среднее значение коэффициента рождаемости.
Решение.
Для расчета среднего значения рождаемости по сгруппированным данным необходимо определить середину каждого интервала в группах:
‰; 
‰ и т.д., для интервала 9, 2 и более 
‰
Определим среднее значение рождаемости:
‰
Среднее значение коэффициента рождаемости по группе регионов РФ в 2004 году составило 8, 9‰.
Пример 3. Имеются данные о численности трудоспособного населения Российской Федерации по различным возрастным группам (табл.24).
Таблица 24
Распределение населения РФ в трудоспособном возрасте на 1 января 2002 года, человек
| Группы населения по возрасту, лет | Всего населения, мужчин и женщин, тыс. человек | |
| 15 – 19 | ||
| 20 – 24 | ||
| 25 - 29 | ||
| 30 – 34 | ||
| 35 – 39 | ||
| 40 – 44 | ||
| 45 – 49 | ||
| 50 – 54 | ||
| 55 – 59 |
Определите структурные средние:
1. моду, медиану;
3. квартили, децили. По результатам расчетов сделайте выводы.
Решение.
1. В группировке наиболее часто встречается население в возрасте от 40 до 44 лет, поэтому этот интервал является модальным. Определим модальное значение возраста трудоспособного населения
года
Таким образом, наиболее часто у трудоспособного населения встречается возраст 43, 37 года.
2. Для расчета медианного значения трудоспособного населения определим кумулятивно накопленные частоты.
В группе от 15 до 19 лет кумулята составляет 12208 человек
В группе от 20 до 24 лет кумулята составляет 10901+12208=23109 человек
В группе от 25 до 29 лет кумулята составляет 10422+10901+12208=33531 человек и т.д. Результаты расчетов представлены в таблице 25.
Таблица 25
Расчетные данные для исчисления медианы
| Группы населения по возрасту, лет | Всего населения, мужчин и женщин, тыс. человек | Кумулятивно накопленные частоты |
| 15 – 19 | ||
| 20 – 24 | ||
| 25 - 29 | ||
| 30 – 34 | ||
| 35 – 39 | ||
| 40 – 44 | ||
| 45 – 49 | ||
| 50 – 54 | ||
| 55 – 59 | ||
| итого | - |
Определим полусумму частот 
человек
Интервал, который впервые превышает эту полусумму частот составляет от 35 до 39 лет. Таким образом интервал от 35 до 39 лет является медианным.
лет
Таким образом половина трудоспособного населения имеет возраст менее 36, 5 лет, другая половина более 36, 5 лет.
1. Для расчета квартилей исчислим показатели
2.
чел.
чел.
Определим интервалы, в которых находятся 1 и 3 квартили по кумулятивно накопленным частотам. Интервалы, которые впервые превышают значения 
и 
численности кумулятивно накопленных частот соответственно равны 25-29 и 45-49 лет.
года 
года
Таким образом у четверти населения средний возраст составляет менее 25 лет, у ¾ численности населения возраст не превышает 46 лет.
4. Для расчета децилей исчислим показатели 
чел.
чел. Определим интервалы, в которых находятся 1 и 9 децили по кумулятивно накопленным частотам. Интервалы, которые впервые превышают значения 
и 
численности кумулятивно накопленных частот соответственно равны 15-19 и 50-54 лет.
года
года
Таким образом, первая десятая часть населения имеет возраст не превышающий 15, 38 года, последняя десятая часть населения имеет возраст превышающий 52, 76 года.
Пример 4. Имеются данные о группировке областей РФ по показателю уровня жизни населения (соотношения среднедушевого дохода и прожиточному минимума) (табл. 26).
Таблица 26
Группировка областей РФ по показателю уровня жизни населения в 2003 году
| № группы | Группы по показателю уровня жизни населения | Количество областей в группах | ВРП на душу населения в среднем, руб. | ВРП на душу населения в областях, руб. |
| 1, 230 - 1, 433 | 29 658, 4 | 28286, 1; 33609, 2; 31842, 5 … 22872, 7 | ||
| 1, 433 - 1, 636 | 34 970, 9 | 22505, 3; 26023, 3; 29527, 4 … 61015, 2 | ||
| 1, 636 - 1, 839 | 37 117, 7 | 32564, 5; 38459, 4; 45879, 2 … 62410, 3 | ||
| 1, 839 - 2, 040 | 50 369, 5 | 56259, 1 … 74025, 5 |
Определите:
1. среднее квадратическое отклонение показателя уровня жизни;
2. коэффициент вариации признака;
3. с помощью эмпирического корреляционного отношения определить степень тесноты между показателем экономического развития региона и уровнем жизни населения;
4. долю вариации ВРП на душу населения, обусловленную изменением уровня жизни.
Сделайте выводы.
Решение.
1. Определим среднее квадратическое отклонение показателя уровня жизни. Для этого найдем середину интервала и среднее значение показателя уровня жизни.
; 
и т.д.
1. Определим коэффициент вариации
Таким образом, данная группировка достаточно однородна по показателю уровня жизни, а значение средней типично для данной совокупности, поскольку вариация признака составляет 13%.
2. По результативному признаку, т.е. ВРП на душу населения рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение.
а) Рассчитаем внутригрупповые дисперсии, которые показывают вариацию показателя уровня жизни во каждой группе. Для расчета групповых дисперсий необходимо знать среднее значение ВРП на душу населения в каждой группе.
; 
для первой группы (от 1, 230 до 1, 433)
руб.
дисперсия в 1 группе:
для второй группы:
руб.
руб
для третьей группы:
руб.
руб.
для четвертой группы:
руб.
руб.
б) На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе, т.е. на основании 
определим среднюю из внутригрупповых дисперсий по формуле:
.
в) Рассчитаем межгрупповую дисперсию 
, которая характеризует систематическую вариацию результативного признака (ВРП на душу населения), обусловленную влиянием признака-фактора (отношение дохода к прожиточному минимуму), положенного в основу группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних 
от общей средней 
:
.
руб.
г) Рассчитаем общую дисперсию по правилу сложения дисперсий.
=58653937, 92+49220154, 21=107874092, 13
3. Найдем эмпирический коэффициент детерминации (
), который представляет собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака (ВРП на душу населения) и характеризует силу влияния группировочного признака (отношение дохода к прожиточному минимуму) на образование общей дисперсии:
Таким образом, можно сделать вывод, что на 45, 6 % вариация показателя, характеризующего экономическое развитие обусловлена различиями в отношении дохода к прожиточному минимуму и на 54, 4% прочими неучтенными факторами.
4. Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение (
), которое показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаком:
.
Можно сделать вывод, что связь между ВРП на душу населения и отношением дохода к прожиточному минимуму заметная.
Задание 1. По итогам переписи 2002г. имеются следующие данные о числе частных домохозяйств, состоящих их нескольких человек по городскому и сельскому населению (табл. 27).
Таблица 27
Группировка частных домохозяйств, состоящих их нескольких человек по городскому и сельскому населению в 2002 году, тыс. чел.
| Население | Домохозяйства с численностью | ||||
| 1 человек | 2 человека | 3 человека | 4 человека | 5 человек | |
| Городское | 8768, 570 | 10871, 183 | 9803, 000 | 6615, 000 | 2035, 000 |
| Сельское | 2973, 000 | 3664, 000 | 2734, 000 | 2329, 000 | 998, 000 |
Определите модальное и медианное значение состава домохозяйств по городскому и сельскому населению.
Задание 2. Имеются данные об удельном весе домашних хозяйств, имеющих среднедушевые доходы ниже величины прожиточного минимума (табл. 28).
Таблица 28
Удельный вес домашних хозяйств, имеющих среднедушевые доходы ниже величины прожиточного минимума
| Показатель | Семьи, не имеющие детей | с 1 ребенком | с 2 детьми | с 3 и более детьми |
| Удельный вес домохозяйств, % | 12, 5 | 13, 2 | 36, 8 | 37, 5 |
Определите:
1. моду и медиану;
2. показатели вариации: дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Сделайте выводы.
Задание 3. По данным выборочной совокупности регионов РФ составлена группировка по уровню безработицы (табл. 29).
Рассчитайте:
1. Среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации;
2. Долю вариации среднедушевых доходов, обусловленную уровнем безработицы.
Таблица 29
Группировка выборочной совокупности регионов РФ по уровню безработицы в 2002 г., %
| Группы регионов по уровню безработицы, % | Количество регионов в группе | Среднедушевые доходы населения в группе, руб. | Внутригрупповая дисперсия среднедушевых доходов в группе |
| 3, 8-5, 1 | 232820, 3 | ||
| 5, 1-6, 4 | 438553, 9 | ||
| 6, 4-7, 7 | 91163, 7 | ||
| 7, 7-9, 0 | 83689, 6 | ||
| 9, 0-10, 3 | 1289629, 6 | ||
| 10, 3-11, 6 | 147629, 3 | ||
| Итого и в среднем | - |
Сделайте выводы.
Задание 4. П о экономике России имеются следующие данные за два года (табл. 30).
Таблица 30
Удельный вес скрытой оплаты труда и размеры оплаты труда в РФ за 2002-2003гг.
| Показатель | 2002 г. | 2003 г. |
| Удельный вес скрытой оплаты труда в общем объеме оплаты труда наемных работников, % | 24, 6 | 27, 6 |
| Оплата труда наемных работников, (в текущих ценах), млрд. руб. |
Определите средний для двух лет удельный вес скрытой оплаты труда в общем объеме оплаты труда наемных работников (в %).
Задание 5. Известны следующие данные о заявках на покупку ценных бумаг (табл. 31).
Таблица 31
Данные о цене покупки и объемах продаж на бирже
| Эмитент | Дата торгов | |||
| 19.04 | 26.04 | |||
| Цена покупки, долл. США | Объем продаж, тыс. долл. США | Цена покупки, долл. США | Количество проданных акций, штук | |
| 1, 0 | 70, 0 | 1, 5 | ||
| 2, 5 | 15, 0 | 2, 8 |
Определите среднюю цену покупки акций на биржах по каждой дате торгов. Укажите какой вид степенных средних использован при расчетах.
Задание 6. По имеющейся группировке банков рассчитайте среднее значение уставного капитала, используя показатель частности (табл. 32).
Таблица 32
Группировка банков по размеру уставного капитала, млн. руб.
| N п/п | группы банков по уставному капиталу, млн. руб. | удельный вес банков в % к итогу |
| 2 – 5 | ||
| 5 – 8 | ||
| 8 – 11 | ||
| итого |
По результатам расчетов сделайте выводы.
Контрольные вопросы
1. Понятие средних величин в рядах распределения.
2. Виды средних и способы их вычисления.
3. Средняя арифметическая простая и взвешенная, ее применение.
4. Средняя гармоническая простая и взвешенная, ее применение.
5. Структурные средние: мода, медиана, квартили, децили.
6. Взаимосвязь метода средних и метода группировок.
7. Понятие вариации.
8. Виды вариационных рядов.
9. Показатели вариации.
10. Закон сложения (разложения) вариации и дисперсии.
11. Дисперсия альтернативного признака.
12. Коэффициент вариации, детерминации, эмпирическое корреляционное отношение.