Получение статистической модели объекта в виде закона распределения.

Большинство объектов управления подвержены значительному влиянию возмущающих факторов. В результате выходные факторы объектов изменяются случайным образом в тех или иных пределах.

Часто необходимо построить статистическую модель объекта в виде того или иного закона распределения случайной величины по экспериментально полученным значениям случайно изменяющегося выходного фактора объекта.

Процесс получения статистической модели включает в себя следующие этапы:

- проведение эксперимента;

- первичную обработку данных;

- построение гистограммы (полигона) экспериментального распределения;

- анализ экспериментального распределения и выбор теоретического распределения;

- проверку гипотезы о законе распределения;

- представление графиков и формул для закона распределения в явной форме.

Пусть исследуется одномерный статистический объект с нормальным законом распределения выходного фактора Y.

Функция плотности нормального распределения описывается выражением

(1.1.1)

где s - среднее квадратическое отклонение случайной величины;

`Y - средняя арифметическая.

Порядок работы.

1. Произвести выборку в 50-150 измерений выходного фактора Y через заданный временной интервал.

2. Выполнить первичную обработку данных. Для этого расположить экспериментальные данные в виде вариационного ряда (в порядке возрастания) и затем вычислить:

- среднюю арифметическую по формуле:

; (1.1.2)

где k – число измерений в выборке (объем выборки);

Y_j - значение отдельного j -го измерения;

- дисперсию s² и среднее квадратическое отклонение по формулам:

; (1.1.3)

. (1.1.4)

Здесь k -1=f

Кроме того, необходимо отбросить грубые измерения (промахи). К ним могут относиться один или несколько крайних членов вариационного ряда. Для них следует вычислить t - критерий,

; (1.1.5)

где Y₀ - член вариационного ряда, подозреваемый как промах.

Сравнить полученное значение t с критической величиной t_кр, выбранной по таблице 1.1.1.

Таблица 1.1.1.

Если t £ t_{кр .}, то член ряда Y₀ не отбрасывается, если t > t_{кр .}, то он отбрасывается, а статистические параметры распределения ` Y и s пересчитываются вновь.

После отбрасывания промахов вариационный ряд измерений считается однородным с уровнем значимости q =5%, который предусмотрен в таблице 1.1.1.

3. Построить полигон и выполнить анализ экспериментального (эмпирического) распределения случайной величины Y, выбрать вид теоретического деления.

Для этого вариационный ряд наблюдений разбивают на L интервалов, где верхняя граница Y^В предыдущего интервала совпадает с нижней границей последующего Y^Н (число интервалов L должно быть не менее 8). В каждый l -й интервал попадает определенное число наблюдений m_l. Границы интервалов Y^H_l и Y^В_l и эмпирические частоты m_l записывают в таблицу 1.1.2. (графы 1, 2, 3, 6).

Таблица 1.1.2

С целью анализа эмпирического распределения строят его полигон. По оси абсцисс откладывают границы интервалов случайной величины и отмечают их середины. Затем для середины каждого интервала по оси ординат откладывают соответствующие ему эмпирические частоты m_l.

Соединив полученные точки ломаной линией, получают полигон эмпирического распределения (см. пример на рис. 1.1.1).

Полигон позволяет судить о характере распределения случайной величины Y и определить к какому из теоретических распределений оно ближе всего (в работе предусмотрен нормальный закон распределения выходной величины).

4. Произвести проверку статистической гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона.

При проверке гипотезы о согласии эмпирического распределения с нормальным законом вычисляем:

Рис. 1.1.1

1) для границ интервалов – их нормированные отклонения z_1l и z_2l от средней арифметической по формулам:

; (1.1.6)

записываем их в графы 4, 5 табл. 1.1.2;

2) в графе 7 теоретическую частость попадания наблюдений в интервал вычисляем по формуле p_l = Ф₀(z_2l) – Ф₀ (z_1l), где Ф₀ (z) – нормированная функция Лапласа согласно таблице 1.1.3 (следует иметь в виду, что для отрицательного z она - отрицательна);

3) в графе 8 табл. 1.1.2 вычисляют теоретическую частоту p_l k для каждого интервала;

4) в графе 9 подсчитывают величину ,

складывая по всем интервалам данные графы 9, получают значение критерия согласия Пирсона χ ² :

. (1.1.7)

Если χ ² £ χ ²_{кр .} при числе степеней свободы f = L-3, то данные наблюдений не противоречат нормальному закону распределения.

Критические значения критерия Пирсона χ ²_{кр .} для уровня значимости q =5% приведены в таблице 1.1.4. 5. С целью наглядности на рисунок наносят точки теоретического распределения, т.е. величины p_lk, соответствующие середине каждого интервала.

6. В формулу для функции плотности распределения 1.1.1. подставляют полученные численные значения ` Y и s ². Эта формула и является статистической моделью для выходного фактора объекта.

Таблица 1.1.3.

Нормированная функция Лапласа Ф₀(z)

Таблица 1.1.4.

Значения χ ²_кр.(f), (f – число степеней свободы), q =5%