Решение типовых задач. Определение математического ожидания, дисперсии,

Тема №1.

Определение математического ожидания, дисперсии,

Корреляционной функции

Теоретические сведения

Пусть – неслучайная функция, , – независимые случайные функции.

Свойства математического ожидания:

1)

2)

3)

4)

Пусть – неслучайная функция, , – независимые случайные функции, тогда дисперсия случайно величины :

Свойства дисперсии:

1)

2)

3)

4)

Пусть – неслучайная функция, – случайная функция.

Корреляционной функцией называется математическое ожидание произведения значений случайной функции для двух моментов времени :

Свойства корреляционной функции:

1.

Для стационарных процессов где

2.

3. Пусть тогда

4. Пусть тогда

5. Пусть тогда

6. Пусть где – неслучайные, тогда

Решение типовых задач

Пример 1.1. Определить математическое ожидание произведения двух функций , где

Решение. Используем первое свойство математического ожидания, так как обе функции неслучайные

Пример 1.2. Определить математическое ожидания следующего выражения где

Решение. Сначала используем третье свойство математического ожидания:

Затем применим первое свойство математического ожидания

Пример 1.3. Определить дисперсию следующего выражения:

Решение. Используем первое свойство дисперсии, так как все четыре слагаемых данного выражения неслучайные функции:

Пример 1.4. Определить корреляционную функцию .

Решение. Используем сначала пятое, затем третье свойства корреляционной функции:

Пример 1.5. Определить корреляционную функцию .

если – независимые.

Решение. Используем третье свойство корреляционной функции: