Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Пусть произведено n повторных независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А наступает с вероятностью p, причем число испытаний достаточно велико (.Тогда вероятность того, что число m наступлений события А в этих n испытаниях будет заключено в границах от до , вычисляется по следующей приближенной формуле

где – функция Лапласа, .

Пример. Каждая из 1000 деталей партии стандартна с вероятностью 0, 9. Найти вероятность того, что число стандартных деталей этой партии будет не меньше 880.

Решение. Число n повторных независимых испытаний в данном случае равно числу деталей в партии (каждая из деталей партии будет проверяться на предмет качества, а в этой проверке и состоит испытание). поэтому интегральная теорема Муавра-Лапласа применима; неравенство , где – число стандартных деталей в партии, здесь равносильно поэтому Тогда

По свойствам функции Лапласа (см. ниже), , По таблице функции Лапласа (см. учебник Н.Ш. Кремера, с. 555) находим Тогда окончательно имеем