Непрерывной случайной величины

Ранее непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно также задать, использую другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию – первую производную от функции распределения .

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Можно показать, что вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

.

В частности, если – четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

.

Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой распределения и прямыми и .

Пример 3.1. Задана плотность вероятности случайной величины Х

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0, 5; 1).

Искомая вероятность равна

.

Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения по формуле

.

Пример 3.2. Найти функцию распределения по данной плотности распределения

Если , то и значит . Если , то , следовательно

.

Если , то

.

Итак, искомая функция распределения

Свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения – неотрицательная функция, т. е.

Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью Ох, либо на этой оси. График плотности распределения называют кривой распределения.

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

.

Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох и кривой распределения, равна единице. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то

.

Пример 3.3. Плотность вероятности случайной величины Х задана функцией

Найти постоянный параметр С.

Из свойства 2

.

Итак: .

Пусть – функция распределения непрерывной случайной величины Х. По определению плотности распределения , или в иной форме

.

Как известно, разность определяет вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу . Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , к длине этого интервала равен значению плотности распределения в точке х.

Итак, функция определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х.

Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е.

,

или .

Так как и ,

то .

Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того,
что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно ) произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала .

Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна площади прямоугольника с основанием и высотой .

Рис. 3.1

На рис. 3.1 видно, что площадь заштрихованного прямоугольни-
ка, равная произведению , лишь приближенно равна площади криволинейной трапеции истинной вероятности, определяемой интегралом . Допущенная при этом погрешность равна площади криволинейного треугольника АВС.

Вопросы для самопроверки

1. Что называют плотностью распределения случайной величины?

2. Как по другому называют плотность распределения?

3. Что называют кривой распределения?

4. Как с помощью плотности распределения найти вероятность попадания значений случайной величины Х в интервале ?

5. Какие свойства имеет плотность распределения?

6. Как выражается функция распределения через плотность распределения?

7. Как выражается плотность распределения через функцию распределения?