Примеры. 1) Отображение является изоморфизмом из в Действительно, это отображение является гомоморфизмом (см

1) Отображение является изоморфизмом из в Действительно, это отображение является гомоморфизмом (см. предыдущий пример) и биективным отображением (в силу свойств экспоненциальной функции).

2) В начале §1 комплексные числа определялись как пары действительных чисел. Множество пар вида отождествлялись с множеством действительных чисел . Это возможно в силу изоморфизма этих двух множеств.

3) Отображение такое, что является изоморфизмом.

4) Отображение такое, что является изоморфизмом аддитивной группы и не является гомоморфизмом мультипликативной группы. Действительно, , но .

Теорема 7. Пусть − изоморфизм. Тогда

1) если − коммутативна, то − также коммутативна;

2) аналогично для ассоциативности;

3) если − нейтральный элемент в относительно , то − нейтральный элемент в относительно ;

4) если и − взаимно обратные элементы из , то и − взаимно обратные из .