Доказательство.

1) Пусть и . Докажем, что . Так как и , то последнее равенство можно переписать в равносильном виде , откуда следует . Справедливость последнего равенства следует из коммутативности операции .

2) Доказывается аналогично 1). Пусть . Тогда : , , . Далее по аналогии.

3) Пусть . Докажем, что . Пусть . Тогда . Аналогично доказывается .

4) Дано: , где − нейтральный элемент в . Действуя на все элементы этого равенства функцией , получаем требуемое равенство.■

Следствие. Из доказанной теоремы следует, что если и − группа, то − также группа. Аналогично для колец и полей.

Теорема 8. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Изоморфны между собой также и все конечные циклические группы данного порядка .

Доказательство. Действительно, любая бесконечная циклическая группа с образующим элементом отображается взаимно однозначно на аддитивную группу , если каждому элементу этой группы ставится в соответствие число . Это отображение является изоморфизмом, так как согласно (3) при перемножении степеней элемента показатели складываются. Если рассматривается конечная циклическая группа порядка с образующим элементом , то, рассматривая мультипликативную группу корней ­− ой степени из единицы и обозначая , изоморфизм строится сопоставлением элементу группы числа . Изоморфность такого отображения следует из следствия к теореме из § 1.■