Определение. означает одно из множеств: рациональных, или вещественных, или комплексных чисел.

Квадратичная форма

означает одно из множеств: рациональных, или вещественных, или комплексных чисел.

Определение

Квадратичной формой над множеством называют однородный полином второй степени с коэффициентами из ; если переменные обозначить , то общий вид квадратичной формы от этих переменных:

П

Функции

являются квадратичными формами. Функции

не являются квадратичными формами.

Заметим, что в выражении для квадратичной формы присутствуют как квадраты переменных так и их смешанные произведения . Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид если в ее представлении все коэффициенты при смешанных произведениях переменных равны нулю, т.е. она имеет вид

говорят также, что форма является «суммой квадратов»1).

Оказывается, что в любой квадратичной форме можно так сгруппировать входящие в нее одночлены, что в результате получится ее (эквивалентное) представление в виде суммы квадратов.

П