Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
править] Критерий отрицательной определённости квадратичной формы ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
Условие сходимости итерационного процесса ~ Метод Якоби ~ Метод Зейделя ~ Метод простой итерации
Рассматривается система Ax = b.
Метод Якоби. Самый простой способ приведения системы к виду удобному для итерации состоит в следующем: из первого уравнения системы выразим неизвестное x 1, из второго уравнения системы выразим x 2, и т. д. В результате получим систему уравнений с матрицей B, в которой на главной диагонали стоят нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам: , i, j = 1, 2,... n. Компоненты вектора d вычисляются по формулам: , i = 1, 2,... n. Расчетная формула метода простой итерации имеет вид , или в покоординатной форме записи выглядит так: , i = 1, 2,... m. Критерий окончания итераций в методе Якоби имеет вид: , где . Если , то можно применять более простой критерий окончания итераций ПРИМЕР 1. Решение системы линейных уравнений методом Якоби. Метод Зейделя. Метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея состоит в том, что при вычислении очередного (n+1)-го приближения к неизвестному x i при i > 1 используют уже найденные (n+1)-е приближения к неизвестным x 1, x 2,..., x i - 1, а не n-ое приближение, как в методе Якоби. Расчетная формула метода в покоординатной форме записи выглядит так: , i = 1, 2,... m.. Условия сходимости и критерий окончания итераций можно взять такими же как в методе Якоби. ПРИМЕР 2. Решение систем линейных уравнений методом Зейделя.
Пусть матрица системы уравнений A - симметричная и положительно определенная. Тогда при любом выборе начального приближения метод Зейделя сходится. Дополнительных условий на малость нормы некоторой матрицы здесь не накладывается. Метод простой итерации. Если A - симметричная и положительно определенная матрица, то систему уравнений часто приводят к эквивалентному виду: x = x - (A x - b), - итерационный параметр. Расчетная формула метода простой итерации в этом случае имеет вид: x (n+1) = x n - (A x n - b). Здесь B = E - A и параметр > 0 выбирают так, чтобы по возможности сделать минимальной величину . Пусть и - минимальное и максимальное собственные значения матрицы A. Оптимальным является выбор параметра . В этом случае принимает минимальное значение равное .
|