Нормальное распределение

Определение. СВНТ Х имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами и , если плотность вероятности имеет вид

, .

Замечание. Это распределение зависит от двух параметров – m и s, поэтому пишут .

Методами математического анализа можно легко построить график плотности вероятности (кривой Гаусса) (рис. 2.1.16):

Легко установить влияние параметров m и на вид кривой . Изменение m равносильно сдвигу кривой вдоль оси Ox. Причем в точке имеется единственный максимум функции , равный . Изменение равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям (например, при удвоении масштаб по оси Ox удвоится, а по оси Oy – уменьшится в два раза, при этом площадь под графиком всегда равна единице) (рис. 2.1.17).

Общим называется нормальное распределение с параметрами m и s. Если случайная величина , то она называется стандартизованной нормальной случайной величиной. Ее плотность:

.

Эта функция табулирована только для , поскольку является четной, т.е. .

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение равны:

, , .

Таким образом, смысл параметров m и случайной величины следующий:

.

Замечание. Поскольку график функции плотности случайной величины симметричен относительно прямой , то ответ можно было получить сразу. Кроме того, мода и медиана случайной величины совпадают с ее математическим ожиданием и равны m.

Функция распределения стандартизованной нормальной случайной величины имеет вид:

.

Она часто называется функцией нормального распределения и также табулирована для , поскольку

.

Кроме того, в этой таблице приведены значения функции лишь для . Это обусловлено тем, что при значения функции практически не отличается от единицы. Поэтому при решении задач можно считать, что для .

Функция распределения для случайной величины связана функцией нормального распределения при помощи формулы:

.

Поэтому очевидно, что

.

Пример 2.1.41. Дана случайная величина . Найти .

Решение.

.

Ответ: .

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа e, т.е. требуется найти вероятность . Задача решается так:

.

Случайная величина с большой вероятностью принимает значения, близкие к своему математическому ожиданию, что описывается «правилом k сигм»:

Пример 2.1.42. Рост взрослого мужчины удовлетворительно описывается нормальным законом распределения. По статистике средний рост составляет 180 см, а среднеквадратическое отклонение равно 7 см. Найти вероятность того, что рост наугад взятого мужчины будет отличаться от среднего роста менее чем на 7 см.

Решение. Обозначим рост наугад взятого взрослого мужчины через X. По условию задачи . Требуется найти . Тогда

.

Ответ: .

Пример 2.1.43. Случайная величина X имеет плотность вероятности

.

Какова вероятность того, что X попадет в интервал ? Чему равен второй начальный момент этой случайной величины?

Решение. Согласно условию задачи случайная величина имеет нормальное распределение . Тогда

.

Поскольку , то можно считать, что . Поэтому

.

Для нахождения второго начального момента случайной величины необходимо воспользоваться соотношением . По условию задачи , . Отсюда

.

Ответ: , .

Пример 2.1.44. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина детали 40 см и среднее квадратическое отклонение равно 0, 4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0, 8?

Решение. По условию задачи случайная величина X – длина изготавливаемой детали – имеет нормальное распределение . Требуется найти положительное число , для которого . Поскольку , то задача сводится к решению неравенства . По таблице квантилей нормального распределения находим: , или . Таким образом, наименьшее значение равно 0, 5128 см.

Ответ: см.

Пример 2.1.45. Пусть X – случайная величина, подчиненная нормальному закону . Какова вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина хотя бы один раз попадет в интервал ?

Решение. Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал при одном испытании:

.

Тогда вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал при одном испытании, равна , а при четырех испытаниях . Значит, искомая вероятность составляет .

Ответ: .