Асимметрия и эксцесс. Нормальное распределение имеет широкое распространение в прикладных задачах

Нормальное распределение имеет широкое распространение в прикладных задачах. Поэтому при изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности, асимметрию и эксцесс

, .

Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения и указывают на значительное отклонение от нормального (рис. 2.1.18, 2.1.19).

– пологая часть правее моды	– пологая часть левее моды

Рис. 2.1.18.

случай	случай

Рис. 2.1.19.

Замечание. При исследовании эксцесса надо считать, что нормальное и исследуемое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.

Пример 2.1.46. Дана функция плотности случайной величины X:

Найти асимметрию и эксцесс случайной величины X.

Решение. Вычислим вначале математическое ожидание и дисперсию случайной величины X (опуская промежуточные выкладки):

;

.

Отсюда .

Также, опуская промежуточные выкладки, вычислим центральные моменты и случайной величины X:

;

.

Заметим, что если построить график плотности , то можно увидеть, что он имеет вертикальную ось симметрии . Поэтому можно было бы, не вычисляя, сразу получить , .

Теперь находим асимметрию и эксцесс:

, .

Ответ: , .