Закон распределения дискретной случайной величины

Случайные величины

Понятие случайной величины

Случайной величиной (СВ) называется такая величина, которая в результате испытания принимает заранее неизвестное и зависящее от различных случайных причин лишь одно возможное значение.

Каждой случайной величине соответствует некоторое множество значений, которые она может принимать. Обычно случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита X, Y, …, а принимаемые ими значения, соответственно, малыми буквами x₁, x₂, …, x_m; y₁, y₂, …, y_n. Например, X - число мальчиков среди 100 новорожденных — это случайная величина, которая может принимать целые значения от 0 до 100, Y – число очков при бросании игральной кости – случайная величина, которая может принимать значения от 1 до 6. Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений.

Непрерывной случайной величиной (НСВ)называется случайная величина, принимающая несчетное, континуальное множество значений.

Примеры ДСВ: число выстрелов до первого попадания в цель, число пассажиров на остановке автобуса, количество бракованных деталей в отобранной партии и т.д.

Примеры НСВ: время безотказной работы прибора, температура воздуха в определенный момент времени, курс доллара по отношению к рублю, прибыль фирмы и т.д.

Более строгое определение СВ базируется на теории множеств. А именно, СВ – это числовая функция, определенная на ПЭС (пространстве элементарных событий) Ω и такая, что каждому элементарному событию ω она ставит в соответствие некоторое число Х, т.е. Х=Х (ω).

Пусть опыт заключается в подбрасывании монеты 2 раза. Тогда ПЭС состоит из 4 элементарных событий: Ω = {ω ₁, ω ₂, ω ₃, ω ₄}. А именно, ω ₁=ГГ, ω ₂=ГР, ω ₃=РГ, ω ₄=РР, где Г – герб, а Р – решка. Пусть Z – число появлений решки в данном опыте. Тогда Z (ω ₁)=0, Z (ω ₂)=1, Z (ω ₃)=1, Z (ω ₄)=2 или, короче, Z ={0, 1, 2}. Таким образом, эта СВ принимает 3 возможных значения.

Закон распределения дискретной случайной величины

Ясно, что для полного описания СВ знания ее возможных значений недостаточно. Необходимо знать: как часто появляются те или иные значения СВ, т.е. необходимо знать вероятности этих значений. Так, в рассмотренном выше примере вероятности значений, очевидно, таковы: 0, 25, 0, 5, 0, 25. Соответствие между значениями ДСВ и их вероятностями удобно оформлять в виде таблицы:

В общем случае закон распределения ДСВ имеет следующий вид:

Законом распределения ДСВ называют соответствие между отдельными возможными значениями и их вероятностями.

Поскольку в одном испытании случайная величина принимает только одно возможное значение, то события X = x₁, Х = x₂,..., X = x_n образуют полную группу, т.е. сумма их вероятностей равна единице:

p₁ + p₂ + … + p_n =1 (1)

Если множество возможных значений ДСВ Х бесконечно, то соответствующий ряд вероятностей сходится и его сумма равна единице:

p₁ + p₂ + … + p_n + … =1 (2)

Пример 1. Вероятностный прогноз для величины X - процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течение шести месяцев - дан в виде закона распределения

Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 3 % за месяц сроком на полгода.

Решение. Из финансовой математики известно, что коэффициент наращения по сложным процентам определяется по формуле:

k(n)= (1+j)ⁿ

где j – месячная процентная ставка, n- количество месяцев на всем периоде наращения. В нашем примере

k(6)= (1+0, 03) ⁶=1, 194

Следовательно, прирост суммы на банковском депозите через полгода составит [(1, 03)⁶ - 1] * 100 % = 19, 4 %.

Вероятность того, что покупка акций выгоднее банковского депозита, определяется суммой вероятностей, соответствующих более высокому росту курса акций:

Р (X > 19, 4) = р₄+ р₅ + р₆ = 0, 3 + 0, 2 + 0, 1 = 0, 6.