Дисперсия дискретной случайной величины

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением: X – М (X).

Дисперсией или рассеянием называется математическое ожидание квадрата отклонения ДСВ от МО:

D (X) = M [X – M (X)] ²(11)

Формула дисперсии в развернутом виде:

D (X) = [x₁ – M (X)] ² p₁ + [x₂ – M (X)] ² p₂ +... + [x_n– M (X)] ² p_n (12)

При вычислении дисперсии удобно воспользоваться формулой, которая непосредственно выводится из формулы (11):

D (X) = M (X ² ) – [M (X)] ² (13)

Из формулы (13) следует, что дисперсия вычисляется по правилу: мат.ожидание квадрата минус квадрат мат.ожидания СВ.

Пример 6. Найти дисперсию ежедневной продажи числа автомашин по данным примера 5.

Решение. Закон распределения случайной величины X ²имеет вид

Математическое ожидание М (X ² ) подсчитывается из этой таблицы:

М (X ² ) = 0^, 0, 25 + 1^, 0, 2 + 4^, 0, 1 + 9^, 0, 1 + 16^, 0, 1 + 25^, 0, 1 + 36^, 0, 05 + 49^{, ,} 0, 05 + 64^, 0, 025 + 81^, 0, 025 = 13, 475.

Математическое ожидание М (X) = 2, 675. Следовательно, согласно формуле (13), получаем искомую величину дисперсии:

D (X) = M (X ² ) – [M (X)] ² = 13, 475 – 7, 156 =6, 319

Основные свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

D (С) = 0 (14)

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D (С X) = С² D (X) (15)

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D (Х₁ + Х₂ + … + Х_n) = D (Х₁) + D (Х₂) + … + D (Х_n) (16)

Из свойств 1 и 3 следует важный вывод: D (X + С) = D (X), где С — постоянная величина. Кроме того, дисперсия числа появления события А в п независимых испытаниях с вероятностью появления р в каждом из них этого события вычисляется по формуле

D (X) = пр (1 – р) = прq (17)

Отметим следующий важный результат: для случайной величины, распределенной по закону Пуассона (5), математическое ожидание и дисперсия равны параметру λ данного распределения. Итак,

если ДСВ Х распределена по биномиальному закону, то

M(X)=np, D(X)=npq

если ДСВ Х распределена по закону Пуассона, то

M(X)=λ, D(X)=λ

Пример 7. Банк выдал кредиты п разным заемщикам в размере 5 ден. ед. каждому под ставку ссудного процента r. Найти математическое ожидание и дисперсию прибыли банка, а также условие на ставку ссудного процента, если вероятность возврата кредита заемщиком равна р.

Решение. Поскольку заемщики между собой не связаны, то можно полагать, что мы имеем п независимых испытаний. Вероятность утери кредита для банка в каждом испытании равна q=1–р. Пусть X — число заемщиков, возвративших кредит со ссудным процентом, тогда прибыль банка определяется формулой:

П = (1 + r/100) SX – пS.

ДСВ X является случайной величиной с биномиальным законом распределения. Тогда математическое ожидание прибыли равно:

М (П) = (1 + r/100) S * М (X) – nS = (1 + r /100) Snp – Sn = Sn (rp/100 – q)

Поскольку выдача кредита имеет смысл лишь при положительном математическом ожидании прибыли (положительная средняя величина прибыли), то из условия М (П) > 0 вытекает условие на ставку ссудного процента

r > 100 q/p или r > 100 (1 – p) / p.

Дисперсия прибыли банка равна:

D (П) = D ((1 + r/100) SX – nS) = (1 + r/100) ² S²npq