Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов

Если то рациональная дробь называется неправильной, при n< m, дробь называется правильной. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить (делением числителя на знаменатель “уголком”) в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби

Интегрирование дробно-рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных дробей. Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа простейших дробей.

1. , целое). 3.

(, целое, ).приравнивая числители получившихся дробей, приходим к равенству двух многочленов

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений для определения A, B, C, D, E.:

при ;

при ;

при ;

при .

Решив эту систему, найдем коффициенты

Разложение рассматриваемой дроби имеет вид:

.

Интегрирование простейших дробей.

1. .

2. .

3.

4.

где

Пример. Найти неопределенный интеграл

Решение. Используя предыдущее разложение, будем иметь