Пример.

;

~ .

, .

.

Теперь покажем, что любое подпространство пространства может быть получено как решение некоторой СОЛУ.

Теорема 6. Всякое подпространство размерности в пространстве с данным базисом является подпространством решений некоторой системы линейных однородных уравнений ранга .

Доказательство. Пусть в задан базис и подпространство . Возьмем в базис дополним его до базиса в : . Каждый вектор можно разложить оп этому базису

,

причем , т.к. – линейная оболочка . Уравнения , …, определяют в базисе . Известно, что два базиса связаны формулами: , где – матрица перехода, . Тогда – формула связи координат вектора в различных базисах. Следовательно, и система уравнений на имеет вид

, (12)

Т.к. строки матрицы линейно независимы ранг системы (12) равен . ч.т.д.

8^о. системы линейных неоднородных уравнений

Рассмотрим систему неоднородных уравнений

(13)

Пусть . Пусть – решение этой системы, т.е.

(14)

Вычитая из (13) выражение (14), получаем

.

Т.о., является решением соответствующего однородного уравнения.

Пусть – фундаментальная система решений однородного уравнения. Тогда любое может быть представлено в виде:

.

Тогда получаем

(15)

Если – частное решение уравнения (13), то формулы (15) дают общее решение. Из (15) следует теорема.

Теорема 7. Общее решение СЛНУ (13) представляется в виде суммы произвольного частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы.

Следствие 1. Разность двух произвольных решений СЛНУ является решением соответствующей СЛОУ.

Следствие 2. Сумма любого частного решения СЛНУ с любым частным решением соответствующей СЛОУ дает частное решение СЛНУ.

Замечание. В формуле (7) вектор – частное решение СЛНУ, а вектора – частные решения СЛОУ.

Тема 4. Линейное пространство

1^о. Определение и простейшие свойства

Пусть даны поле с элементами, называемыми скалярами и обозначаемыми малыми греческими буквами , , , … и множество элементов, называемых векторами и обозначаемых латинскими буквами . Введем на алгебраическую операцию сложения, которая каждой паре элементов ставит в соответствие третий элемент , называемый суммой и и обозначаемый , а также операцию умножения скаляра на вектора, которая и ставится в соответствие , называемый произведением вектора на скаляр и обозначаемый

Определение 1. Множество вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над полем , если удовлетворяются следующие аксиомы:

1) является абелевой группой;

2) Для любых и выполняются равенства:

а) Умножение на не изменяет , т.е. .

б) .

в) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров, т.е. .

г) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е. .