Примеры.

1) Если − поле и , то имеем − векторное пространство, называемое нулевым.

2) − векторное пространство комплексных чисел над полем вещественных чисел. − векторное пространство вещественных чисел над полем рациональных чисел.

3) Множество матриц размера образует векторное пространство .

4) Множество многочленов степени не выше n образует векторное пространство .

5) Множество непрерывных на функций образует векторное пространство .

6) – n -мерное координатное пространство (или арифметическое пространство), элементами которого являются упорядоченные наборы из n чисел: . Операции определены следующим образом:

;

.

Задача. Проверить выполнение аксиом векторного пространства.

2^о. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Это понятие является обобщением понятия линейной зависимости строк.

Определение 2. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется выражение вида: .

Определение 3. Вектора называются линейно независимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинация с этими является нулевым вектором V, т.е. . Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами, называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что