Теоретичні відомості. Розглянемо приклад моделювання процесу зміни температури в стінці, що описується диференційними рівняннями в частинних похід­них

Розглянемо приклад моделювання процесу зміни температури в стінці, що описується диференційними рівняннями в частинних похід­них. Однорідна стінка товщиною L великої площі поділяє два сере­довища з різною температурою: на лівій поверхні температура змі­нюється за часом, як функція j 1(t), на правій – якфункція j 2(t).

Потрібно відтворити процес зміни температури для внутрішніх точок стінки. Для цього проведемо вісь y перпендикулярно стінці. Температура внутрішніх точок стінки – функція двох змінних: часу t і координати y, тобто v (t, y). Точки стінки, що знаходяться на одній вертикалі, мають однакову температуру внаслідок великої площі стінки і її однорідності. Функція v (t, y) задовольняє наступному рівнянню:

, (2.1)

де l – коефіцієнт теплопровідності стінки, с – питома об'ємна тепло­ємність стінки.

Рішення рівняння повинне відповідати крайовим умовам v (t, 0) = j 1(t), v (t, L) = j 2(t) і початковій умові v (0, y) = T (y).

Для отримання системи звичайних диференціальних рівнянь, що апроксимують рівняння теплопровідності, розіб'ємо стінку верти­кальними лініями на ряд шарів однакової товщини. При перетині цих прямих з віссю y утвориться ряд точок. Для кожної з цих точок темпе­ратура буде функцією однієї змінної – часу. Будемо вважати, що точки на осі y розташовані одна від одної на невеликій однаковій відстані h. Підставимо координати y_i точок i у рівняння теплопровідності:

. (2.2)

Позначимо v (t, y_i) через v_i (t), то .

Частинну похідну приблизно можна знайти через значення функції v (t, y) у точці y_i та двох сусідніх з нею точках i +1 і i – 1: