Регрессионный анализ и точность уравнения

Регрессией называют изменение функции при изменении аргументов. Задача регрессионного анализа состоит в выравнивании опытных данных, получении уравнений, наиболее точно описывающих реальную действительность, и оценке их точности.

Выравнивание опытных данных чаще всего выполняется по способу наименьших квадратов с подбором различных аналитических уравнений. В лесном хозяйстве большинство зависимостей передается уравнениями прямой линии, кривой второго и третьего порядка. Значительно реже используют логарифмическую, показательную и другие функции.

Выравнивание экспериментальных данных легко выполняется на компьютере по стандартным программам, например в Exсel. Программа позволяет быстро получить уравнение кривых различного порядка и по коэффициенту детерминации R (коэффициент корреляции в квадрате r² или корреляционное отношение в квадрате ) выбрать наиболее точно отражающее фактическую зависимость. Выбирается обычно из нескольких одно уравнение, величина коэффициента детерминации у которого наибольшая. При этом, если коэффициент детерминации равен от 0, 01 до 0, 10, теснота связи считается слабой, от 0, 11 до 0, 25 – умеренной, 0, 26-0, 50 – значительной, 0, 51-0, 80 – высокой и при 0, 81 и более – очень высокой. В практическом плане в большинстве случаев при выравнивании высот, диаметров стволов, сумм площадей сечений, запасов и других показателей у древостоев удается получить уравнения сR0, 90-0, 99, т.е. с очень высокой аппроксимацией эмпирических и теоретических данных.

Программа Exсel (в отличие от STATGRAPHICS), к сожалению, не вычисляет ошибку полученного уравнения. Поэтому ее приходится определять отдельно. Для этого составляется вспомогательная таблица (табл. 4.8), в которую вписываются исходные данные (1-я строка) и выравненные с помощью Exсel(2-я строка). В качестве примера использованы данные средних высот древостоев в возрасте от 10 до 79 лет.

Таблица 4.8

Опытные и выравненные данные средних высот в различном возрасте древостоев

Связь возраста А и средней высоты древостоев Н аппроксимируется кривой второго порядка:

Н = -0, 0017 А² + 0, 3505 А + 0, 12; R = 0, 995.

Ошибка (точность) уравнения вычисляется по формуле

M_y = ± ,

где – сумма квадратов отклонений между опытными (фактическими) данными и вычисленными по уравнению (сумма значений последней строки табл. 4.8);

п – количество точек линии регрессии, по которым вычислено уравнение (в табл. 4.8 их 10: 1-я – 3, 4; 2-я – 5, 2 и т.д.);

е – количество коэффициентов уравнения (в примере для уравнения кривой второго порядка их 3).

M_y = ± = ± = ± = ± = ± 0, 40 (м).

Следовательно, уравнение зависимости средней высоты древостоев Н от возраста А следует записать так:

Н = -0, 0017 А² + 0, 3505 А + 0, 12 ± 0, 40 (м).