Находится по формуле

(10)

В ответе записывается , так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

Условие параллельности двух плоскостей:

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

.

Пример 9. В пространстве заданы точки A (3, 2, –1), В (2, –1, 2) С (1, 3, 4), D (4, –5, 5). а) постройте уравнение плоскости (АВС); б) Найдите расстояние от точки D до плоскости (АВС); в) постройте уравнение прямой АС; г) постройте уравнение перпендикуляра к плоскости (АВС), проходящего через точку D.

Решение. а) Воспользуемся формулой (4):

= 0;

= 0;

(x – 3)(–15 – 3) – (y – 2)(–5 + 6) + (z + 1)(–1 – 6) = 0;

–18(x – 3) – (y – 2) – 7(z + 1) = 0;

–18 x + 54 – y + 2 – 7 z – 7 = 0;

–18 x – y – 7 z + 49 = 0;

18 x + y + 7 z – 49 = 0.

б) Воспользуемся формулой (5):

.

в) Воспользуемся формулой (8):

;

.

г) Направляющим вектором перпендикуляра является нормаль к плоскости; из пункта а) это = (18, 1, 7). Воспользуемся формулой (7):

.