Свойства смешанного произведения.

1. Операции векторного и скалярного произведения можно переставить местами, то есть ( ´ ) = ( ´ ), поэтому смешанное произведение обозначают просто .
2. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанное произведение: = = .
3. Перестановка двух сомножителей меняет знак смешанного произведения: = – = – = – .
4. Геометрический смысл смешанного произведения: объем параллелепипеда, ребра которого задаются векторами , и , равен .
5. Критерий ориентации тройки векторов , , : тройка правая, если
   > 0, и тройка левая, если < 0.
6. Критерий компланарности: векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда = 0.
7. Если = (a ₁, a ₂, a ₃), = (b ₁, b ₂, b ₃), = (c ₁, c ₂, c ₃), причем базисные векторы образуют правую тройку, то .

Пример 8. Найти объем параллелограмма ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁, если заданы координаты вершин A (3, 2, 0), C (2, –1, 2) D (1, 3, –4), C ₁(4, 5, 7).

Решение. Изобразим параллелепипед ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ на рисунке (не стараясь согласовывать положение вершин с их координатами), чтобы понять, какие векторы задают ребра параллелепипеда. Так как заданы точки A, C, D, C ₁, то естественно использовать векторы , и :

= (3 – 1, 2 – 3, 0 + 4) = (2, –1, 4);

= (2 – 1, –1 – 3, 2 + 4) = (1, –4, 6);

= (4 – 2, 5 + 1, 7 – 2) = (2, 6, 5).

Тогда

= = 2(–20 – 36) – 1(5 – 12) + 4(6 + 8) = –49;

V = 49.